96 Solución Debemos expresar la ecuación dada en la forma ( ) ( ) 2 2 2 x− h + y− k = r 2 2 1 1 x + y + x+ 2y+ = 2 16 0 2 1 2 1 x + x+ y + 2y=− 2 16 En donde podemos completar dos trinomios cuadrados perfectos, es decir: ⎛ 2 x + 1 1 2 1 1 x y 2y 1 2 + ⎞ ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠ + ( + + )=− + + 16 16 1 Para obtener: 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ x+ ⎟ y ⎝ ⎠ + ( + ) 2 1 4 = 1 Luego, la ecuación representa una circunferencia de centro en − ⎛ ⎝ ⎜ 1 ⎞ − 4 1 ⎟ ⎠ , y radio 1. 97 Solución Como los focos están ubicados en (2,2) y (10,2) entones el eje focal de la elipse es la recta y=2 y tenemos una elipse horizontal. Observe que la distancia entre los focos es 8 unidades y por lo tanto 2c = 8, es decir c = 4 y el centro de la elipse se ubica a 4 unidades de cada foco y por lo tanto el centro de la elipse debe ser el punto (6,2), es decir que (h, k) = (6,2). Al ubicar en este punto el origen del sistema de coordenadas x’y’, obtenemos las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas, estas son x’ = x - 6 y y’ = y − 2. Red matemática antioquia - gobernación de antioquia Con este par de ecuaciones podemos obtener las coordenadas de los focos y el vértice dado en el sistema de coordenadas x’y’: Focos (2 − 6,2 - 2) = (−4,0) y (10 − 6,2 − 2) = (4,0). Vértices (0 − 6,2 − 2) = (−6,0). Luego el otro vértice se encuentra en el punto (6,0) en el sistema de coordenadas x’y’ y en el sistema de coordenadas xy en el punto (6 + 6,0 + 2) = (12,2) En la figura se muestra la ubicación del sistema de coordenadas x’y’, los focos y los vértices. Según sus coordenadas en el sistema x’y’ podemos concluir que c = 4 y a = 6. Por lo tanto 2 2 b= a − c = 36 − 16 = 20 y entonces la ecuación de la elipse, en el sistema de coordenadas x’y’, es: 86
2 2 ( x' ) y' + ( ) = 1 2 2 a b 2 2 ( x' ) y' + ( ) = 1 36 20 y en el sistema de coordenadas xy, es: ( x−6) + y−2 36 20 ( ) 2 2 Los principales elementos de la elipse en el sistema de coordenadas x’y’ son los siguientes: = 1 Centro C = (0,0). Focos F 1 = (−4,0) y F 2 = (4,0). Vértices V 1 = (−6,0) y V 2 = (6,0). Extremos del eje menor A 1 = (0,√20) y A 2 = (0,−√20). A continuación, se muestra la gráfica de la elipse. A 1 V F 1 O' F 2 1 V 2 x' O x A 2 100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver 87
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