Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos ⎩ ⎨ ⎧ = > − = 0 1 0 ...

Instituto Tecnológico de Ciudad Madero
Dra. Laura Cruz Reyes
Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS
Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos
T n n n n n
m−1
( ) = + 3 + 9 + ... + 3 + 0
(log 3 n) −1
T( n) = n+ 3n+ 9 n+ ... + 3 n
(log 3 n) −1
i
Tn ( ) = n∑
(3 )
i=
0
k
i
k+
Usando la serie ∑ ar = a (( r 1 −1)/( r −1)
)
i=
0
, se resuelve la recurrencia.
log 3 ( n) 2
⎛(3 −1) ⎞ nn ( −1)
n −n
Tn ( ) = n⎜
⎟= ==
⎝ 3−1 ⎠ 2 2
Tn
2
( ) =Θ( n)
El siguiente ejemplo ilustra el segundo caso correspondiente a una serie constante.
⎧T(2 n/3) + 1 n>
1
Tn ( ) = ⎨
⎩0 n = 1
De la fórmula general de divide-y-vencerás:
T(n) = b T( n/c ) + f(n),
b=1, c=3/2, f(n) =1,
Para determinar que la recurrencia corresponde al caso 2 del Teorema Maestro, sea,
f( n) = 1
gn n n n
log c log 3/2
( ) = b = 1 = 0 = 1
Se demuestra que f(n) = Θ(g(n)):
⎛ f( n) ⎞ ⎛1⎞
lim ⎜ ⎟= lim ⎜ ⎟=
1
x→∞
gn ( ) x→∞
⎝ ⎠ ⎝1⎠
c
∴ f( n) =Θ n
log b
( )
logc Como f( n ) =Θ ( n
b ), entonces todos los lgn términos de la recurrencia son iguales al
último término,
∴ Tn=Θ n n=Θ n n=Θ
n
logc log3/21
( ) ( b
lg ) ( lg ) (lg )
Alternativamente se puede resolver la recurrencia mediante la construcción del árbol de
recursión.