Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos ⎩ ⎨ ⎧ = > − = 0 1 0 ...

Instituto Tecnológico de Ciudad Madero
Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS
3.8 Ejercicios resueltos
Dra. Laura Cruz Reyes
Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos
En los siguientes ejercicios, para la función de recurrencia dada, se aplican los métodos de
solución indicados. Posteriormente se determine el orden asintótico de la función. Finalmente la
solución la solución se comprueba utilizando la herramienta Derive.
3.8.1. Utilice el método maestro y al árbol de recurrencia para resolver la función T(n)
definida para todas las potencias de 2.
( )
Tn ( ) = n-1+
2 T n/2
T (1) = 0
a) Aplicación de métodos de solución de recurrencias
Mediante un análisis del árbol de recurrencia se observa que la complejidad en los
diferentes niveles del árbol no es constante y tampoco es una serie geométrica. Por lo
anterior el teorema maestro no se puede utilizar para resolver la recurrencia.
n-1
Complejidad
T(n)
n-1
Patrón de Complejidad: n-2 i
T(n/2) (n/2)-1
T(n/2) (n/2)-1
n-2
T(n/4) (n/4)-1 T(n/4) (n/4)-1 T(n/4) (n/4)-1 T(n/4) (n/4)-1 n-4
.
.
n-2 i
Para facilitar la identificación de patrones, se elabora una tabla que resume la evolución
del tamaño del problema, la complejidad de un nodo y la complejidad de un nivel.
Nivel
i
Tamaño
del
Complejidad
(de un
No. de
suproblemas
Complejidad
(de todo el nivel)
problema subproblema)
0 n n-1 1 1(n-1) = n-1
1 n/2 n/2 -1 2 2(n/2 -1) = n-2
2 n/4 n/4 -1 4 4(n/4 -1) = n-4
9i n 1
n − 2 i
2 i 2 i
m n n
=1
⎛ ⎞ 2 m
T = T(1) =
m ⎛ n ⎞ m m
0
2 m ⎜
2 m ⎟
2 T⎜
2 T(1) 2 (0)
m ⎟ = =
⎝ ⎠
⎝2
⎠