Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos ⎩ ⎨ ⎧ = > − = 0 1 0 ...

Instituto Tecnológico de Ciudad Madero
Dra. Laura Cruz Reyes
Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS
Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos
Primero se generan cuatro recurrencias para tamaños de problema consecutivos.
( ) = + 2 (
n
2)
(
n n
) = + 2T( n
2 4)
2
(
n n
) = + 2T
4 (
n
8)
4
n
(
n
) = + 2T( n
)
T n n T
T
T
T
8 8 16
Enseguida se usan las recurrencias de anteriores para hacer la expansión de la recurrencia
original.
( ) = + 2n
+ 2⋅2
(
n
2 4)
( ) = + 2n + 2⋅ 2n + 2⋅2⋅2
2 4 (
n
8)
( ) = + 2n + 22 ⋅ n + 222 ⋅ ⋅ n + 2222 ⋅ ⋅ ⋅ (
n
)
Tn n T
T n n T
T n n T
2 4 8 16
( ) = + 2 ( )
1 n 2 3 4
1+ 2 n
2 + 2 n
3+
2 n
4
T n n T
2 2 2 2
Dado que se desconoce en cuántos términos la función T(n) debe ser expandida para
alcanzar el caso base, se usará el índice m para hacer referencia al término correspondiente a
la condición de paro.
[ ]
1 2 3
Tn ( ) = ⎡n 2 n
1 2 n
2 2 n
3 ... término ⎤
⎢
+ + + + +
m−1
+ términom
⎣ 2 2 2 ⎥⎦
Se forma una sumatoria cuyo patrón de regularidad es 2 i i
( /2 )
n con i= 0…m-1. Posterior a
esta sumatoria sigue el término de paro, cuyo coeficiente y tamaño de problema siguen un
patrón similar con i=m.
m−1
i=
0
n
m n
( m−1) T( m−1)
m
( m−
) ( m−
)
1 2 3 1
( ) 2 n
1 2 n
2 2 n m−
Tn= ⎡n+ + + 3+ ... + 2 n ⎤
1 + ⎡2
T n ⎤
1
⎢⎣ 2 2 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
∑
i
Tn ( ) = 2 + 2
2 2
La sumatoria se simplifica al considerar que el último termino corresponde al caso base con
n=1 y T(1)=1.
n n
( i) ( m−1
) ()
m−1 m−1 m−1
i m m m
∑ ∑ ∑
Tn ( ) = 2 + 2 T = n+ 2 T1 = n+
2
2 2
i= 0 i= 0 i=
0
Encontramos el valor de m igualando las dos condiciones de paro.