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Instituto Tecnológico de Ciudad Madero Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Dra. Laura Cruz Reyes Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos De la fórmula general de divide-y-venceras: T(n) = b T( n/c ) + f(n), b=3, c=4, f(n) =nlgn. Para determinar que la recurrencia corresponde al caso 3 del Teorema Maestro, sea f( n) = nlgn c gn ( ) = n b = n log + ε log4 3+ ε Se demuestra que f(n) = Ω(g(n)) ⎛ f( n) ⎞ ⎛ nlgn ⎞ lim ⎜ ⎟= lim ⎜ x log4 3 ( ) x + ε ⎟ →∞ gn →∞ ⎝ ⎠ ⎝n ⎠ ⎛ nlg n ⎞ lim ⎜ lim lg n si ε 0.207 x→∞ 0.793 ε ⎟ = =∞ = n n x→∞ ⎝ ⎠ ⎛ nlg n ⎞ lim ⎜ si 0< ε 0.207 x→∞ 0.793 ε ⎟ =∞ ≤ ⎝n n ⎠ logc b+ ε ( ) ∴ f( n) =Ω n para ε > 0 Además, se demuestra que bf(n/c)≤c´f(n) para alguna constante c´
Instituto Tecnológico de Ciudad Madero Dra. Laura Cruz Reyes Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS Se conjetura que la solución de T(n) pertenece a algún orden de O(f(n)). Paso2: Prueba inductiva a) Hipótesis: La función adivinada se establece como hipótesis inductiva T(n) ≤ cf(n) para una c>0 b) Caso Base: Para n pequeña se prueba T(n) ≤ cf(n). Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos La hipótesis inductiva se prueba con el tamaño de problema más pequeño. Como la solución adivinada se expresa en notación asintótica sólo basta encontrar una n 0 , tal que la hipótesis inductiva se cumpla para cualquier n > n 0 . El valor de n 0 se substituye en la recurrencia para encontrar su solución con n pequeña. La prueba es correcta si la hipótesis y la recurrencia coinciden en alguna constante c. c) Caso General: Suponiendo T(n) ≤ cf(n) verdadera demostrar que T(n-1) ≤ cf(n-1) La hipótesis inductiva se prueba con un valor de problema grande. Para ello se asume que dicha hipótesis es válida con el tamaño anterior k f-1 al del más grande que es k f . Esta se substituye en la recurrencia evaluada en k f , y se considera correcta si alcanza la forma exacta de la hipótesis inductiva. 3.7.2 Ejemplos de recurrencias resueltas con el método de sustitución El siguiente ejemplo ilustra el método de sustitución. ⎧ ⎪2 T( ⎢n/2 ⎥) + n n> 1 Tn ( ) = ⎣ ⎦ ⎨ ⎪⎩ 1 n = 1 Paso 1: Adivinación Sea T(n) = O(nlgn) la solución adivinada Paso 2: Prueba inductiva a) Como hipótesis inductiva se establece la función T(n) ≤ c(nlgn) para una c>0. b) Para probar que la hipótesis inductiva es válida con un tamaño de problema grande k f =n, primero se asume que esta hipótesis es valida con un valor k f-1 =⎣n/2⎦ anterior al de k f . La hipótesis inductiva de la solución adivinada es:
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