Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos ⎩ ⎨ ⎧ = > − = 0 1 0 ...

Instituto Tecnológico de Ciudad Madero
Unidad I COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS
Tn ( ) = On ( log n)
Tn ( ) ≤ cn ( log n)
Dra. Laura Cruz Reyes
Capítulo 3 Complejidad de algoritmos recursivos
La hipótesis inductiva para k f-1 =⎣n/2⎦ queda:
( )
T ⎢⎣n/2 ⎥⎦ ≤ c⎢⎣n/2⎥⎦lg ⎢⎣n/2⎥⎦
La recurrencia original para k f =n es:
Tn ( ) = 2 T( ⎢⎣n/2 ⎥⎦
) + n
La hipótesis inductiva que es valida en k f-1 se sustituye en la recurrencia especificada en el
tamaño de problema más grande k f . La recurrencia original, con la sustitución de la hipótesis
inductiva, queda
( )
( )
( )
( )
T n ≤ 2 c⎢⎣n/2⎥⎦lg ⎢⎣n/2⎥⎦+
n
T n ≤ cn lg( n / 2) + n
T n ≤cn lg n − cn lg 2 + n
T n ≤cn lg n − cn + n
Para c=1 se encuentra la forma exacta de la hipótesis inductiva:
( )
( )
T n
T n
≤(1) nlg n− (1) n+
n
≤ nlg
n
c) Se busca un valor pequeño de n para el cual la hipótesis inductiva es válida.
Para n 0 =1, que es el tamaño de problema más pequeño, la hipótesis inductiva queda:
( )
() 1
T n ≤ cn lg n
T ≤ c(1) lg(1) = 0
La hipótesis es inconsistente con el caso base de la recurrencia ya que no existe una c que
pueda obtener su condición límite T(1)=1.
∴Cuando n 0 =1 la hipótesis inductiva no se cumple.
Para n 0 =2, la hipótesis inductiva queda:
( )
( 2)
T n
T
≤ cn lg n
≤ c(2)lg(2) = 2c
El valor de n 0 =2 se sustituye en la recurrencia: