Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

118 Capítulo 4. La completitud semántica
Observaciones La enumeración α 0 ,α 1 ,... de las sentencias de un lenguaje
formal puede hacerse explícitamente. Más adelante veremos detalladamente
una forma de hacerlo, por lo que por ahora no insistiremos más en ello. Lo
importante es que una tal ordenación es un concepto finitista.
Un punto mucho más delicado es la definición de los conjuntos Γ n , pues,
según veremos más adelante, en los casos de interés matemático no es posible
calcular explícitamente cada uno de sus términos. Aunque pudiéramos calcular
los primeros, digamos hasta Γ 5 , nada nos garantiza que seamos capaces de
determinar quién es Γ 6 o, más concretamente, si la sentencia α 5 forma parte o
no de Γ 6 . El problema es que para ello tendríamos que decidir si Γ 5 ∪{α 5 } es
o no consistente, y no tenemos ningún algoritmo que nos permita decidir si un
conjunto de fórmulas, aunque sea finito, es consistente o no.
Pese a ello, lo cierto es que Γ 5 ∪ {α 5 } será consistente o contradictorio y,
según el caso Γ 6 coincidirá con este conjunto o se reducirá a Γ 5 . Puesto que uno
de los dos casos, y sólo uno, ha de ser cierto, podemos afirmar que Γ 6 está bien
definido con independencia de si sabemos o no determinar sus elementos.
Así pues, el conjunto Γ ∞ de los axiomas de la extensión S está completamente
determinado por T y por la ordenación de las sentencias de L que hemos
escogido, a pesar de que no sabemos determinar qué sentencias contiene. Estamos
ante el tipo de colecciones de objetos más general que vamos a considerar
desde un punto de vista metamatemático.
La teoría S es bastante “patológica”, pues, aunque conozcamos perfectamente
la teoría de partida T, lo cierto es que no sabemos qué sentencias son
axiomas de S y, a fortiori, qué sentencias son teoremas de S. Más adelante
veremos que esta patología es inevitable si partimos de una teoría aritmética
consistente.
A diferencia de lo que sucede con el teorema de completitud, este teorema
afirmasimplemente la existenciade un objetobien definido que escapaanuestro
control. Ensímismonotienerepercusionesfinitistas. Porellonoesunresultado
indicado para valorar si tenemos realmente motivos para aceptar razonamientos
no finitistas. Ciertamente, si las técnicas no finitistas nos llevaran únicamente
a conclusiones de este tipo, resultarían ser totalmente superfluas.
El papel que representa la completitud en la prueba del teorema 4.1 es, a
grandes rasgos, el siguiente: un modelo de una teoría axiomática determina
si una sentencia dada es verdadera o falsa. Por consiguiente, para construir
un modelo debemos contar con toda la información necesaria para aceptar o
rechazar cualquier sentencia y, para ello, uno de los primeros pasos que daremos
será completar la teoría de partida. Si nos fijamos en la teoría S construida en
la prueba del teorema anterior veremos que una sentencia es un teorema de S
si y sólo si es un axioma. Para no trabajar con teorías “hinchadas” de axiomas,
conviene tratar directamente con el conjunto de las sentencias demostrables
en una teoría axiomática, ahorrándonos así el darles artificialmente rango de
axiomas. Esto nos lleva al concepto siguiente:
Definición 4.4 Un conjunto Γ de sentencias de un lenguaje formal L es maximalmente
consistente si Γ es consistente y para toda sentencia α de L que no