Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

7.4. Máquinas de Turing 245
Una función parcial es 1 | 1 computable si hay una máquina de Turing que la
computa 1 | 1. Vamos a demostrar que una función es computable si y sólo si es
1 | 1 computable si y sólo si es recursiva parcial. El concepto de computabilidad
1 | 1 es un concepto auxiliar técnico para la prueba.
Por el momento trabajaremos con máquinas de un solo signo. Para ellas
usaremos la siguiente notación más cómoda:
a) Llamaremos 0 a s 0 y 1 a s 1 .
b) Imprimir 1 sobre un 0 lo representaremos E (escribir).
c) Imprimir 0 sobre un 1 lo representaremos B (borrar).
d) Si un signo no se modifica no indicaremos nada.
e) Los estados pasivos serán 0 1 ,...,0 n (o “0” si sólo hay uno).
f) Los estados activos serán 1, 2, 3, ...(1 es el estado inicial).
Por ejemplo la máquina A de antes se representa ahora así:
A 0 1
1 E0 D1
Concatenación de máquinas de Turing Si M es una máquina de Turing
con estados pasivos 0 1 ,...,0 n y N 1 ,...,N n son otras máquinas de Turing, llamaremos
⎡
N 1
⎢
M ⎣
.
N n
a la máquina de Turing definida como sigue:
Si q 1 ,...,q j son los estados activos de M y q i 1 ,...qi j i
son los estados activos
de N i , los estados activos de la nueva máquina son q 1 ,...,q j ,q i 1 ,...qi j i
, para
i = 1,...,n.
Los estados pasivos son los de las máquinas N 1 ,...,N n . El estado inicial es
q 1 , es decir, el estado inicial de M. El programa es como sigue:
Dada una configuración, se realiza el acto marcado por el programa de la
máquina a la que pertenece el estado en curso, a excepción del caso en que M
deba pasar al estado 0 i , en cuyo caso se pasa al estado q i 1.
En otras palabras, se trata de la máquina que empieza actuando como M y,
cuando ésta se ha de parar por pasar al estado 0 i , en lugar de ello comienza a
actuar la máquina N i .
La concatenación puede repetirse cuantas veces se quiera, incluso
de forma circular. Por ejemplo, la máquina de la figura
empieza actuando como M, cuando ésta acaba empieza N 1 o
N 2 , según el estado pasivo de M al que se llegue; si empieza N 2 ,
cuando ésta acaba empieza P 1 o vuelve a empezar M según el
estado pasivo final.
N 1
M P 1
✻N 2