Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

536 Apéndice A. El cálculo secuencial de Gentzen
Consideremos finalmente el caso en que la fórmula principal es de la forma
∨
ys′ +1δ ′ s ′ +1 (y s ′ +1,ū). Entonces basta tomar χ s′ +1 ≡ y s′ +1 ≡ 0, que cumple
todo lo requerido (define una función nula, que es recursiva primitiva)
y la implicación se conserva si añadimos χ s′ +1 y δ ′ s ′ +1 .
Corte Vamos a considerar el caso en que la fórmula de corte es Σ 1 . El caso en
que es ∆ 0 se trata simplificando el argumento que vamos a ver. Partimos
de los secuentes
γ i (ū), ∨ v j γ ′ j (v j,ū) ⇒ δ k (ū), ∨ y l δ ′ (y l ,ū), ∨ zα(z,ū),
∨
zα(z,ū), γi (ū), ∨ v j γ ′ j(v j ,ū) ⇒ δ k (ū), ∨ y l δ ′ (y l ,ū),
y suponemosporhipótesis deinducción que tenemosfunciones χ 1 l (ū,¯v,y l),
χ 2 l (ū,¯v,z,y l) y χ ∗ (ū,¯v,z) que definen funciones recursivas primitivas y de
modo que en IΣ 1 se demuestra:
1∨ 1∨ ∧ū¯v yl χ i (ū,¯v,y l ),
∧ū¯v zχ ∗ (ū,¯v,z),
∧ū¯vȳz(χ
1
l (ū,¯v,y l ) ∧ χ ∗ (ū,¯v,z) ∧ γ i (ū) ∧ γ ′ j(v j ,ū) →
δ k (ū) ∨ δ ′ l(y l ,ū) ∨ α(z,ū))
∧ū¯vzȳ(χ
2
l (ū,¯v,z,y l ) ∧ γ i (ū) ∧ γ ′ j(v j ,ū) ∧ α(z,ū) → δ k (ū) ∨ δ ′ l(y l ,ū)).
Notemos que no hace falta considerar el caso en que no hay fórmulas δ ′ l ,
pues entonces el secuente inferior del corte cumple s ′ = 0 y no hay nada
que probar.
Razonando en IΣ 1 , suponemos γ i (ū) ∧ γ ′ j (v j,ū) y tomamos los únicos
y l y z que cumplen las fórmulas χ 1 l (ū,¯v,y l) y χ ∗ (ū,¯v,z). Distinguimos
dos casos: si ¬α(z,ū), entonces podemos concluir δ k (ū) ∨ δ ′ l (y l,ū). En
caso contrario, es decir, si α(z,ū), tomamos los únicos y ′ l
que cumplen
χ 2 l (ū,¯v,z,y′ l ), y podemos concluir que δ(ū) ∨ δ′ l (y′ l ,ū).
Esto nos lleva a definir
χ 3 l(ū,¯v,y ′′
l ) ≡ ∨ y l zy ′ l(χ 1 l(ū,¯v,y l ) ∧ χ ∗ (ū,¯v,z) ∧ χ 2 l(ū,¯v,z,y ′ l)
∧ ((¬α(ū,z) ∧ y ′′
l = y l ) ∨ (α(ū,z) ∧ y ′′
l = y ′ l ))).
Es claro entonces que si suponemos χ 3 l (ū,¯v,y′′ l ) ∧ γ i(ū) ∧ γ j ′(v j,ū) podemos
concluir en los dos casos que hemos distinguido δ(ū) ∨ δ
l ′(y′′
l
,ū). Las
fórmulas χ 3 l
son ciertamente Σ 1 y cumplen claramente
1∨
⊢
∧ū¯v y
′′
l
IΣ χ3 l (ū,¯v,y′′ l ).
1
Sólo falta probar que definen funciones recursivas primitivas. Ahora bien,
si llamamos f 1 l , f2 l , f∗ a las funciones recursivas primitivas definidas por
χ 1 l , χ2 l y χ∗ , respectivamente, y R a la relaciónrecursiva primitiva definida
por la fórmula α (teorema 7.10), resulta que la función f 3 l
definida por χ 3 l
es
f 3 l (ū,¯v) = f 1 l (ū,¯v)(1−χ R
(f ∗ (ū,¯v),ū))+f 2 l (ū,¯v,f ∗ (ū,¯v))χ R
(f ∗ (ū,¯v),ū),
que es claramente recursiva primitiva por ser composición de funciones
recursivas primitivas.