Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

1.4. Variables libres y ligadas 25
Observaciones Una variable x está libre o ligada en α ∨ β, α ∧ β o α ↔ β
syss lo está en α o en β. Así mismo, x está libre en ∨ x i α syss lo está en α y
x ≢ x i , y x está ligada en ∨ x i α syss lo está en α o x ≡ x i . Estas observaciones
no forman parte de la definición de variable libre y ligada, sino que se deducen
inmediatamente de las definiciones de α ∨ β, etc.
Una variable está en una expresión θ (es decir, es uno de los signos que
componen θ) si y sólo si está libre o ligada en θ.
Si θ es una expresión sin descriptores de un lenguaje L con descriptor, entonces
una variable x está libre o ligada en una expresión sin descriptores θ
considerada como expresión de L si y sólo lo está considerada como expresión
de L.
Ejemplos Observemos que una variable puede estar a la vez libre y ligada
en una expresión, así como no estar ni libre ni ligada. Los ejemplos siguientes
muestran las cuatro posibilidades para una misma variable x:
u = v
∨u = x
x u = x
x = 0 ∧ ∨ x x = 0 ′
x no está ni libre ni ligada.
x está libre y no ligada.
x está ligada y no libre.
x está libre y ligada.
(Suponemos que las variables x, y, u, v son distintas).
Una expresión es abierta si tiene variables libres. En caso contrario es cerrada.
Un designador es un término cerrado. Una sentencia es una fórmula
cerrada. Por lo tanto las cadenas de signos quedan clasificadas como sigue:
⎧ ⎧ { designadores
términos
⎪⎨ términos abiertos
⎪⎨ expresiones
⎧
⎨
cadenas de signos
sentencias
fórmulas ⎪⎩ ⎩fórmulas abiertas
⎪⎩ no expresivas
La distinción entre variables libres y ligadas tiene una interpretación semántica.
Consideremos, por ejemplo, el lenguaje de la aritmética y su modelo
natural M. Se cumple
M ( ∨ y 0 ′′′ ·y = x)[v],
si y sólosi v(x) es múltiplo de 3. Así pues, parasaber si la fórmula ∨ y 0 ′′′·y = x
es satisfecha o no por una valoración sólo necesitamos saber cómo actúa la
valoración sobre la variable x. Su valor sobre las demás variables es irrelevante.
Esto no es casual:
Teorema 1.9 Si v y w son valoraciones de un lenguaje formal L en un modelo
M que coinciden sobre las variables libres de una expresión θ, entonces si θ es
un término M(θ)[v] ≡ M(θ)[w] y si θ es una fórmula M θ[v] syss M θ[w].