Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

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324 Capítulo 8. La formalización de la lógica una demostración de α cumple N Σn δ, pero a priori no podemos garantizar que las fórmulas δ que aparezcan en una demostración de α no puedan tener complejidad mayor que la de α. Más aún, ni siquiera podemos asegurar que la complejidad de las fórmulas de una demostración de α vaya a estar acotada por un 0 (n) que nos permita considerar las fórmulas metamatemáticas N Σn δ hasta un n fijo. Pese a todo, el resultado es cierto, y la prueba está implícita en la demostración del teorema A.24, aunque allí consideramos únicamente el caso en que la fórmula α es metamatemática, pero el argumento vale igualmente con tal de que el número natural n sea metamatemático.
Capítulo IX Incompletitud En el capítulo anterior hemos probado el teorema 8.19, que pone en evidencia serias limitaciones al estudio de los números naturales: existen afirmaciones relativamente simples (de tipo Π 1 ) que son verdaderas en el modelo natural, pero no son demostrables en AP. De hecho, el resultado no se aplica únicamente a AP, sino a cualquier teoría semirrecursiva sobre L a cuyos axiomas sean verdaderos en el modelo natural. En este capítulo generalizaremos este teorema haciéndoloextensivoacualquierteoríaaxiomáticarazonablecapazde probarlos resultadosmás básicossobre losnúmeros naturales(los axiomasde la aritmética de Robinson Q). En suma, veremos que es imposible construir una teoría axiomática capaz de dar respuesta a cualquier problema matemático y, más aún, probaremos que la consistencia de una teoría axiomática suficientemente “potente” no puede ser demostrada (salvo en el seno de una teoría cuya consistencia sea aún más dudosa que la de la primera). Estos resultados, debidos a Gödel, muestran que la fundamentación de la matemática no puede llevarse a cabo en los términos a los que aspiraba Hilbert, es decir, especificando una teoría general de conjuntos de la que pueda probarse que es consistente y completa. 9.1 El primer teorema de incompletitud Si una teoría T sobre un lenguaje formal L interpreta a Q, representaremos con la misma notación 0 (n) los numerales de L a y sus traducciones a L. En particular, siθ esunaexpresióndeL, representaremosindistintamentemediante φ al numeralde La que yatenemos definido oal numeralde Lcorrespondiente. Tenemos que algunas fórmulas de L (al menos las fórmulas aritméticas) pueden interpretarse como afirmaciones sobre los números naturales, y por otra parte las fórmulas de L pueden considerarse números naturales, lo cual abre la posibilidad de que algunas fórmulas se puedan interpretar como afirmaciones sobre ellas mismas. El teorema siguiente muestra que esto es posible en un contexto muy general: 325
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