Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

xxi
Si consideramos que el principio de inducción es aplicable a todas las propiedades
P que pueden definirse exclusivamente a partirde los conceptosde “cero”,
“siguiente”, “suma” y “producto” (lo que llamaremos propiedades aritméticas)
entonces los axiomas de Peano son suficientes para demostrar prácticamente
todo lo que cualquiera sabe sobre los números naturales y mucho más.
Esto se traduce en que, si quisiéramos, podríamos “olvidarnos” de que sabemos
lo que son los números naturales y limitarnos a extraer consecuencias de
los axiomas mediante razonamientos lógicos (válidos). En otras palabras, este
planteamiento consistiría en decir algo así como
No sé ni me importa qué son los números naturales, pero vamos a
aceptar que existe algo llamado cero (que no me importa lo que es,
si es que es algo) que tiene la propiedad de ser un número natural
(que no me importa lo que es), que todo número natural (sea esto
lo que sea) tiene asociado otro número natural al que llamamos su
“siguiente” (y no me importa qué significa esto), de modo que se
cumplen los axiomas 2, 3, 4, y suponemos también que a partir de
cada dos números naturales podemos calcular otro al que llamamos
su suma (y no me importa qué es concretamente eso de “sumar”) de
modo que se cumple el axioma 6, y lo mismo con el producto y el
axioma 7.
Aceptado esto, podemos ir obteniendo consecuencias lógicas. Por ejemplo
podemos razonar que todo número natural que no sea el cero es el siguiente de
otro. Para probarlo razonamos así:
Demostración: Tomamos como propiedad P la dada por “x es
cero o el siguiente de otro número natural”. Es una propiedad bien
definida, para cada número natural P (supuesto que “cero” y “siguiente”
tengan un significado preciso, aunque no nos importe cuál
sea). Aplicamos el principio de inducción, para lo cual observamos
que, obviamente, el cero tiene la propiedad P, y supuesto que un
número natural x tenga la propiedad P, también es evidente que Sx
tiene la propiedad P, ya que Sx es obviamente el siguiente de otro
número natural. El principio de inducción nos da entonces que todo
número natural tiene la propiedad P, es decir, que todo número es
cero o bien el siguiente de otro.
Esto es un ejemplo típico de razonamiento formal. El argumento garantiza
que si existen unos objetos que cumplen los axiomas de Peano, entonces dichos
objetos deben cumplir también la conclusión: cada uno de ellos que no sea el
cero es el siguiente de otro.
La lógica matemática proporciona los criterios precisos y adecuados para verificarrazonamientosformalescomo
éstesin necesidaddepreocuparseen ningún
momento sobre el posible significado de las palabras “número natural”, “cero”,
“siguiente”, “suma” o “producto”. La situación es exactamente la misma que
cuando a partir de “todo A es B” y “C es A” concluíamos que “C es B” sin
necesidad de preguntarnos qué es eso de A, B, C.