Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

8.1. Lenguajes y teorías formales 293
Demostración: Suponemos que existe d tal que c∪{α}⊢ d β de modo que
siempre que se aplica el apartado d) de la definición de deducción se cumple
además que x /∈ Vlib(α). Vamos a probar por inducción sobre i que
∧
i ∈ N(i < l(d) →
∨
d ′ c d′
⊢α → d i ).
Notemos que la fórmula es Σ 1 , luego la inducción es legítima. Al aplicar esto a
i = l(d)−1 obtenemos una deducción de α → β.
Lo suponemos cierto para todo j < i. Si d i es un axioma lógico o una
premisa, entonces tomamos como d ′ la sucesión
{(0,d i ),(1,d i → (α → d i )),(2,α → d i )},
que es claramente una deducción de α → d i . La prueba continúa calcando literalmente
el argumento metamatemático que vimos en el capítulo II. No merece
la pena repetirlo aquí.
Igualmente podemos “calcar” (es decir, formalizar) todas las pruebas de
todas las reglas derivadas de inferencia y todos los criterios generales que hemos
dado sobre deducciones (razonamiento por reducción al absurdo, etc.).
Definición 8.13 Una teoría axiomática T sobre un lenguaje formal L es una
fórmula u ∈ Ax(T) tal que ∧ u ∈ Ax(T) u ∈ Form(L). Diremos que T es una
teoría axiomática semirrecursiva (resp. recursiva) si la fórmula es Σ 1 (resp.) ∆ 1 .
Definimos una demostración en una teoría axiomática T como
Dm T (d) ≡ d ∈ SucCad(L) ∧ ∧ i < l(d)(d i ∈ Form(L) ∧ ···),
donde los puntos suspensivos son la disyunción de las fórmulas siguientes:
a) d i ∈ Axl(L),
b) d i ∈ Ax(T),
c) ∨ kl < i(d k = (d l → d i )),
d) ∨ k < i ∨ x ∈ Rd i (d i = ∧ xd k ).
Es claro que si T es una teoría axiomática (semi)recursiva entonces Dm T (d)
es una fórmula ∆ 1 (resp. Σ 1 ), como también lo es la fórmula
d
⊢
T
α ≡ Dm T (d) ∧ ∨ n(n ∈ N ∧ l(d) = n+1 ∧ d n = α),
pues equivale a Dm T (d) ∧ ∧ n(n ∈ N ∧ l(d) = n+1 → d n = α).
Diremos que α es un teorema de T si cumple
⊢
T
α ≡ ∨ d d ⊢
T
α.
Notemos que si la teoría axiomática es (semi)recursiva esta fórmula es Σ 1 ,
pero no necesariamente ∆ 1 . Es claro que toda consecuencia lógica de teoremas
de T es un teorema de T.