Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

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Similarmente, cuando afirmamos que existe un primo que cumple X, esto
significa que 2 cumple X o 3 cumple X o 5 cumple X, y que, si continuamos
avanzando por la sucesión de los primos, tarde o temprano encontraremos uno
que cumpla X. Nuevamente, esto tiene un sentido objetivo tanto si sabemos
como comprobar que es así como si no. Más aún, tiene sentido objetivo incluso
si no sabemos cómo comprobar si un primo dado cumple o no X (pero sabemos
lo que esto significa).
Un ejemplo para entender esto último: Tomemos como X la propiedad “ser
diferencia de dos números primos”. Podemos preguntarnos si todo número par
tiene la propiedad X. Por ejemplo,
2 = 5−3, 4 = 7−3, 6 = 11−5, ...
ahora imaginemos que llegamos a un número par p para el que no encontramos
un par de primos que cumplan X. Eso no significa que no existan, porque los
dos primos pueden ser arbitrariamente grandes. Tal vez nos quedemos con la
duda de si p tiene o no la propiedad X, pero o la tiene o no la tiene. Si no la
tiene, ya podemos asegurar que es falso que todo número par tiene la propiedad
X, y si la tiene habría que seguir buscando por si falla otro. Tal vez nunca
sepamos qué pasa a partir de p, pero eso no desmiente que la afirmación “todo
número par es diferencia de dos primos” es objetivamente verdadera o falsa.
Consideremosahorael concepto de “sucesióninfinita de númerosnaturales”.
Conocemos muchos ejemplos concretos de tales sucesiones. Por ejemplo, la
sucesión constante igual a 7:
7, 7, 7, 7, ...
la propia sucesión de los números naturales:
0, 1, 2, 3, ...
la sucesión n 2 +n+1:
1, 3, 7, 13, ...
y así infinitas más. Sabemos lo que decimos cuando decimos que cualquiera
de ellas es una sucesión infinita de números naturales, podemos hablar objetivamente
de cualquiera de ellas, pero ¿sabemos lo que decimos si hacemos una
afirmación sobre la totalidad de sucesiones infinitas de números naturales? ¿Podemos
decir objetivamente que toda afirmación sobre la totalidad de sucesiones
infinitas de números naturales es verdadera o falsa?
Los matemáticos discrepan en la respuesta a esta pregunta, pero en general
coinciden en que, si la respuesta fuera afirmativa, no es evidente que lo sea, por
lo que en ningún caso es algo en lo que podamos apoyarnossin más justificación.
Volveremos sobre esto un poco más adelante, pero de momento quedémonos al
menos con que no podemos decir “alegremente” que sabemos de qué hablamos
cuando hablamos de “todas las sucesiones infinitas de números naturales”.