Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

8 Capítulo 1. Lenguajes y modelos
ser el rey de España. Confundir c con ¯c es como confundir un objeto con su
nombre. Mi mesa tiene cuatro patas, pero no letras, la palabra “mesa” tiene
cuatro letras, pero no patas.
Relatores Los relatores son los signos destinados a nombrar relaciones (el
equivalente a los verbos en castellano). Al definir un lenguaje formal debemos
asociar a cada signo catalogado como relator un número natural no nulo al que
llamaremos su rango. Los relatores de rango n se llaman relatores n-ádicos.
Un modelo M de L debe asignar a cada relator n-ádico R de L una relación
n-ádica ¯R sobre su universo, que será la interpretación en M del relator R.
Cuando convenga explicitar M escribiremos M(R) en lugar de ¯R.
Por ejemplo, si el universo de un modelo es el conjunto de los números
naturales, la interpretación ¯R de un relator monádico R puede ser la relación
“ser primo”. Nuevamente, R no es más que un signo en un papel, por ejemplo,
△, que en principio no es más que eso, un “triangulito”, mientras que ¯R es una
propiedad que puede tener o no cada número natural.
Exigiremos que todo lenguaje formal tenga al menos un relator diádico que
llamaremos igualador, y que representaremos mediante el signo =, y en la definición
de modelo exigiremos que la interpretación del igualador sea siempre la
relación de identidad ≡ en el universo del modelo.
Funtores Los funtores son los signos destinados a nombrar funciones, el equivalente
a expresiones del estilo de “el padre de” en castellano. Al definir un lenguaje
formal debemos asociar a cada signo catalogado como funtor un número
natural no nulo al que llamaremos su rango. Los funtores de rango n se llaman
funtores n-ádicos. Un modelo M de un lenguaje L debe asignar a cada funtor
n-ádico de L una función n-ádica ¯f en su universo, que será la interpretación
de f en el modelo. Cuando convenga escribiremos M(f) en lugar de ¯f.
Conectores lógicos Los conectores lógicos son signos destinados a construir
nuevas afirmaciones a partir de otras dadas. Aunque podrían definirse muchos
más, en la práctica consideraremos siempre cinco de ellos: un negador ¬, un
implicador →, un conjuntor (o conjunción) ∧, un disyuntor (o disyunción) ∨ y
un coimplicador (o bicondicionador) ↔.
En la definición de modelo no incluiremos ninguna asociación de significado
a los conectores lógicos, no porque no vayan a tenerla, sino porque les vamos
a asociar siempre la misma, independientemente del modelo considerado. El
significado asociado a cada conector no será ni un objeto, ni una relación ni una
función, sino una “tabla de verdad”. Concretamente, las tablas de verdad de
los cinco conectores que estamos considerando serán las siguientes:
p q ¬p p → q p ∧ q p ∨ q p ↔ q
V V F V V V V
V F F F F V F
F V V V F V F
F F V V F F V