Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

6 Capítulo 1. Lenguajes y modelos
R que se cumple exactamente sobre los pares
(a,b),(a,c),(b,c)
tenemos un conjunto bien definido con una relación diádica bien definida sobre
él. El conjunto M podría ser un conjunto de tres personas y la relación R
podría ser la relación “ser más inteligente que”, concretada mediante cualquier
criterioarbitrarioquenocuestionaremos. Valorarquiénesmásinteligentequeda
fuera de nuestro alcance, pero si se ha establecido de algún modo quién es más
inteligente, y podemos decir sin peros que a es más inteligente que b y que b es
más inteligente que c, entonces con esta relación así precisada podemos tratar
sin problema alguno.
En cualquier conjunto podemos considerar la relación de identidad, que representaremos
por x ≡ y y que es verdadera cuando x e y son el mismo objeto.
Funciones Si M es un conjunto arbitrario y n es un número natural no nulo,
una función n-ádica f en M es cualquier criterio bien definido que a n objetos
de M (con posibles repeticiones) en un orden dado les asigna otro objeto de M,
que representaremos por f(a 1 ,...,a n ).
Aquí se aplicanlas mismasconsideracionesque en los apartadosprecedentes.
Ejemplos de funciones bien definidas sobre el conjunto N son la función sucesor
(que es monádica), la suma y el producto, que son diádicas, o la función triádica
dada por f(x,y,z) ≡ xy +z.
Estructuras Una estructura consiste en un conjunto M en el cual se han
fijado varias relaciones y funciones.
Estas estructuras, formadas por un conjunto y unas relaciones y funciones
bien definidas, sin ambigüedades, inmutables, son las “realidades simplificadas”
que pretendemos estudiar a través de la lógica formal que vamos a introducir.
Por ejemplo, la estructura de la aritmética de Peano está formada por el
conjunto de los números naturales con las funciones sucesor, suma y producto
(que son las que aparecen en los axiomas de Peano).
Observemos que el castellano, como cualquier lengua natural, nos permite
hablar sobre los conceptos más diversos, desde los dedos de nuestra mano hasta
de astrología. Según de qué hablemos, nuestras palabras pueden tener un significado
claro, dudoso o incluso ser mera palabrería sin sentido. Pero si fijamos
una estructura en los términos que hemos establecido (un conjunto bien definido
con relaciones y funciones bien definidas) y nos comprometemos a hablar
en castellano sin hacer referencia a ningún concepto que no sean los elementos
del conjunto y las relaciones y funciones fijadas en la estructura, entonces el
castellano nos permite razonar con absoluto rigor.
Nuestro propósito es demostrar que todo razonamiento informal en castellanosobrelosobjetos,relacionesyfuncionesdeunaestructurapuedeexpresarse