Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

7.5. La tesis de Church-Turing 251
Consideremos la relación R a,c (obviamente recursiva) dada por
R a,c (w) syss Suc(w) ∧ l(w) = 4 ∧ w 1 = a ∧ w 2 = c.
Llamaremos χ a,c
a su función característica (también recursiva). Definimos
ρ(w) = ∑
ρ a,c (w 1 ,w 2 )·χ a,c (w)+w·sg(w 2 ),
a=0,...,j
c=1,...,k
que es una función recursiva, por ser suma de funciones recursivas.
Si w es el númerode Gödelde una configuracióncompleta, ρ(w) es elnúmero
de Gödel de la configuración completa siguiente (el sumando w ·sg(w 2 ) recoge
el caso de que el estado sea pasivo, o sea, w 2 = 0, con lo que sg(w 2 ) = 1 y así
ρ(w) = w, es decir, la configuración no cambia).
Definimos ahora la función recursiva
θ(w,0) = w,
θ(w,z +1) = ρ(θ(w,z)).
Si w es el número de Gödel de una configuración completa, θ(w,z) es el
número de Gödel de la configuración completa en que se halla M después de z
actos (o la situación final si M se detiene antes).
Para cada número natural n vamos a definir τ n (x 1 ,...,x n ,c,u,v) de modo
que si x 1 ,...,x n está representado en posición normal, el estado es q c y los
números de Gödel de la cinta a la izquierda de la casilla blanca anterior a x 1
y a la derecha de la casilla blanca posterior a x n son, respectivamente, u y v,
entonces τ n da el número de Gödel de la configuración completa. Definimos
primero
1 0 = 0, 1 x+1 = 1 x ⌢ 〈1〉,
de modo que 1 x es el número natural que codifica la sucesión de longitud x
cuyos términos son todos iguales a 1. Obviamente es recursiva. Ahora
τ 1 (x 1 ,c,u,v) = 〈u ⌢ 〈0〉 ⌢ 1 x1 ,1,c,v ⌢ 〈0〉〉.
Supuesta definida τ n , definimos τ n+1 como
τ n+1 (x 1 ,...,x n+1 ,c,u,v) = τ 1 (x n+1 ,c,τ n (x 1 ,...,x n−1 ,x n +1,c,u,v) 0 ,v).
Es fácil ver que las funciones τ n cumplen lo pedido, así como que son recursivas.
Digamos que la función φ es n-ádica. Si x 1 ,...,x n es escrutado en posición
normal con estado q 1 y el resto de la cinta en blanco, la configuración completa
es τ n (x 1 ,...,x n ,1,0,0). Así mismo, si x 1 ,...,x n ,x (para un cierto x)
es escrutado en posición normal con estado q 0 , la configuración completa es
τ n+1 (x 1 ,...,x n ,x,0,u,v), para ciertos u, v, y viceversa.
Así pues, φ(x 1 ,...,x n ) está definido si y sólo si existen z, x, u y v tales que
θ(τ n (x 1 ,...,x n ,1,0,0),z) = τ n+1 (x 1 ,...,x n ,x,0,u,v),
y entonces φ(x 1 ,...,x n ) = x.