Carlos Ivorra Castillo LÓGICA MATEMÁTICA

16 Capítulo 1. Lenguajes y modelos
Si ζ es una cadena de signos de L, llamaremos longitud de ζ al número de
signos que componen ζ, contando cada uno tantas veces como se repita.
Claramente, si L es un lenguaje formal con descriptor, toda cadena de signos
de L lo es de L y toda cadena sin descriptores de L lo es de L.
Ejemplo Una cadena de signos de L a es
“⊠|−−||□∢∢”
Su longitud es 8 (¡recordemos que “|−−” es un solo signo!). De acuerdo con
el convenio que hemos adoptado, podemos referirnos a ella con el nombre
“¬x 2 x 0 x 0 f 2 1 →→ f 1 0”, o también “¬x 2 x 0 x 0· →→ S”. Así podemos decir que
“¬x 2 x 0 x 0· →→ S”esunapalabracastellanaquenombraaunacadenadesignos
de L a y también que ¬x 2 x 0 x 0· →→ S es una cadena de signos de L a (¡atención
a las comillas!).
Si preferimos pensar que L a en en realidad la versión que hemos definido
tomando números naturales como signos, entonces esta cadena de signos no es
sino la sucesión finita de números naturales
10,4,1,1,9,11,11,6
Naturalmente, las cadenas de signos del estilo de la que acabamos de considerar
no sirven para nada. Ahora hemos de extraer de entre ellas las que tienen
“significado”, algo así como seleccionar los movimientos “legales” en el ajedrez
de entre todos los movimientos posibles. Hay dos casos distintos en los que una
cadena de signos puede tener un significado: bien porque nombre a un objeto,
bien porque afirme algo. A las cadenas que nombran objetos las llamaremos
términos, mientras que a las que afirman algo las llamaremos fórmulas. Ésta
es la idea subyacente, pero no nos sirve como definición porque, además de ser
imprecisa, alude a un posible significado de las cadenas de signos, y queremos
que la definición sea formal. La definición correcta es la siguiente:
Definición 1.5 Una cadena de signos θ de un lenguaje formal L es una expresión
de L si existe una sucesión finita θ 0 ,...,θ m de cadenas de signos de L
de modo que θ m ≡ θ y cada θ k cumple una de las condiciones siguientes:
a) θ k es una variable.
b) θ k es una constante.
c) θ k ≡ Rt 1···t n , donde R es un relator n-ádico de L y los t i son cadenas
anteriores de la sucesión cuyo primer signo es una variable, una constante,
un funtor o el descriptor.
d) θ k ≡ ft 1···t n , donde f es un funtor n-ádico de L y los t i son cadenas
anteriores de la sucesión cuyo primer signo es una variable, una constante,
un funtor o el descriptor.
e) θ k ≡ ¬α, donde α es una cadena anterior de la sucesión cuyo primer signo
es un relator, un conector o el generalizador.