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viii ÍNDICE GENERAL 8.1.4 Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.1.5 Matriz de un producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.2 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2.1 Conjuntos ortogonales y ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2.2 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.3 Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2.4 Distancia de un punto a un subespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.3 Endomorfismos en espacios vectoriales con producto interno . . . . . . . . . . . 206 8.3.1 Adjunta de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.2 Transformaciones autoadjuntas y matrices hermitianas . . . . . . . . . . 209 8.3.3 Transformaciones unitarias y ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.3.4 Clasificación de transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9 Variedades lineales 231 9.1 Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.1 Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.2 Algunas variedades lineales particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.1.3 Otra forma de describir variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.2 Intersección y suma de variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.2.1 Intersección de variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.2.2 Variedades lineales paralelas y alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.2.3 Suma de variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 Variedades lineales en espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.3.1 Ortogonalidad de variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.3.2 Ángulo entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.3.3 Distancia de un punto a una variedad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3.4 Distancia entre variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 10 Formas bilineales 249 10.1 Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.2 Matriz de una forma bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.3 Formas bilineales simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.3.1 Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.3.2 Diagonalización de formas bilineales simétricas . . . . . . . . . . . . . . 253 10.4 Formas bilineales simétricas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ÍNDICE GENERAL ix 10.4.1 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.4.2 Formas bilineales definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Bibliografía 265 Índice Alfabético 266
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