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1.1 Espacios vectoriales y subespacios 9
i ′ ) S ≠ ∅.
Es decir, las condiciones i), ii), iii) son equivalentes a i’), ii), iii). La demostración de este
hecho queda como ejercicio.
Ejemplos. Sea V un K-espacio vectorial.
1. {0} es un subespacio de V .
2. V es un subespacio de V .
3. Si v ∈ V , S = {λ · v / λ ∈ K} es un subespacio de V :
i) 0 = 0 · v ∈ S.
ii) Si λ · v, µ · v ∈ S, entonces λ · v + µ · v = (λ + µ) · v ∈ S.
iii) Si λ · v ∈ S y α ∈ K, entonces α · (λ · v) = (α · λ) · v ∈ S.
Este subespacio se denomina el subespacio generado por v y se nota S = < v >.
4. Sean v 1 , . . . , v n ∈ V .
Entonces S = {α 1 .v 1 + · · · + α n .v n : α i ∈ K, 1 ≤ i ≤ n} es un subespacio de V :
i) 0 = 0.v 1 + · · · + 0.v n ∈ S.
ii) Si v, w ∈ S, v = α 1 .v 1 + · · · + α n .v n , w = β 1 .v 1 + · · · + β n .v n , entonces
v + w = (α 1 + β 1 ).v 1 + · · · + (α n + β n ).v n ∈ S.
iii) Si λ ∈ K y v = α 1 .v 1 + · · · + α n .v n ∈ S, entonces
λ.v = (λ.α 1 ).v 1 + · · · + (λ.α n ).v n ∈ S.
El subespacio S que hemos definido se llama el subespacio generado por v 1 , . . . , v n y se
nota S = < v 1 , . . . , v n >.
Si V es un K-espacio vectorial, tiene sentido considerar las operaciones de unión e intersección
entre subespacios de V (que son subconjuntos de V ). Una pregunta que surge es si
estas operaciones preservan la estructura de subespacio. Como veremos a continuación, esto
vale en el caso de la intersección de subespacios, pero no para la unión.
Proposición 1.11 Sea V un K-espacio vectorial, y sean S y T subespacios de V . Entonces
S ∩ T es un subespacio de V .
Demostración.
i) 0 ∈ S ∩ T puesto que 0 ∈ S y 0 ∈ T .
ii) Sean v, w ∈ S ∩ T . Entonces v ∈ S, v ∈ T, w ∈ S y w ∈ T . Como v, w ∈ S y S es un
subespacio, entonces v + w ∈ S. Análogamente, v + w ∈ T . Luego, v + w ∈ S ∩ T .