fascgrado2

1.4 Suma de subespacios 33
Esta triangulación muestra simultáneamente que el conjunto {(1, 1, 0, 1), (2, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 1),
(1, 2, 2, 1)} es l.d. y que el conjunto {(1, 1, 0, 1), (2, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 1)} es l.i. Por lo tanto,
(1, 2, 2, 1) ∈ < (1, 1, 0, 1), (2, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 1) > y {(1, 1, 0, 1), (2, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 1)} es una
base de S + T .
Si S y T son dos subespacios de dimensión finita de un K-espacio vectorial V , el siguiente
teorema relaciona las dimensiones de los subespacios S, T , S ∩ T y S + T .
Teorema 1.43 (Teorema de la dimensión para la suma de subespacios.) Sea V un
K-espacio vectorial. Sean S y T subespacios de V de dimensión finita. Entonces
dim(S + T ) = dim S + dim T − dim(S ∩ T ).
Demostración. Sean s = dim S, t = dim T y r = dim(S ∩ T ).
Si s = 0, o sea S = {0}, se tiene que S + T = T y S ∩ T = {0} y la igualdad vale.
Análogamente se ve que vale si t = 0.
Sea {v 1 , . . . , v r } una base de S ∩T (si r = 0, consideramos simplemente el conjunto vacío).
Sean w r+1 , . . . , w s ∈ S tales que {v 1 , . . . , v r , w r+1 , . . . , w s } es una base de S, y sean
u r+1 , . . . , u t ∈ T tales que {v 1 , . . . , v r , u r+1 , . . . , u t } es una base de T .
Veamos que {v 1 , . . . , v r , w r+1 , . . . , w s , u r+1 , . . . , u t } es una base de S + T :
Es claro que es un sistema de generadores de S+T . Veamos que es un conjunto linealmente
independiente. Supongamos que
Entonces
r ∑
i=1
α i v i +
s ∑
j=r+1
r∑
α i v i +
i=1
β j w j = −
s∑
j=r+1
t ∑
k=r+1
β j w j +
t∑
k=r+1
γ k u k . Además,
γ k u k = 0.
r∑
s∑
α i v i + β j w j ∈ S y
i=1 j=r+1
t∑
− γ k u k ∈ T,
k=r+1
de donde −
t ∑
k=r+1
γ k u k ∈ S ∩ T . Luego, existen δ 1 , . . . , δ r ∈ K tales que
t∑
r∑
− γ k u k = δ l .v l
k=r+1
l=1
o, equivalentemente,
t∑
r∑
γ k u k + δ l .v l = 0.
k=r+1
l=1
Pero {v 1 , . . . , v r , u r+1 , . . . , u t } es una base de T , en particular, un conjunto linealmente independiente.
Luego, γ k = 0 ∀ r + 1 ≤ k ≤ t y δ l = 0 ∀ 1 ≤ l ≤ r. Entonces
r∑
α i .v i +
i=1
s∑
β j .w j = 0,
j=r+1