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1.3 Independencia lineal y bases 23
Triangulando la matriz ampliada asociada al sistema, tenemos
−→
⎛
⎝ 1 2 1 −1 2
3 1 −1 −1 7
5 0 −3 −1 5
⎛
⎞
⎠ −→
⎝ 1 2 1 −1 2
0 −5 −4 2 1
0 −10 −8 4 −5
⎞
⎛
⎝ 1 2 1 −1 2
0 −5 −4 2 1
5 0 −3 −1 5
⎠ −→
⎛
⎞
⎠ −→
⎝ 1 2 1 −1 2
0 −5 −4 2 1
0 0 0 0 −7
Esto significa que una solución X = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) del sistema debe satisfacer la última
ecuación, es decir 0.x 1 +0.x 2 +0.x 3 +0.x 4 = −7, lo que es un absurdo. Por lo tanto el sistema
en cuestión no tiene soluciones.
⎞
⎠ .
1.3 Independencia lineal y bases
En la Sección 1.1.4 introdujimos la noción de sistema de generadores de un K-espacio vectorial
V . Un espacio vectorial puede tener distintos sistemas de generadores y además dos sistemas
de generadores de un mismo espacio vectorial pueden tener distinta cantidad de elementos.
En esta sección veremos que para cualquier sistema de generadores G de un K-espacio
vectorial V que cumpla cierta propiedad adicional, que llamaremos independencia lineal, la
cantidad de elementos de G estará fija. Esto nos llevará a definir la noción de dimensión de
un espacio vectorial.
1.3.1 Independencia lineal
Una cuestión que surge al considerar un sistema de generadores de un K-espacio vectorial
V es la de hallar sistemas de generadores que sean minimales respecto de la inclusión, es
decir, tal que ningún subconjunto propio sea también un sistema de generadores de V . Los
siguientes resultados caracterizan a los conjuntos con esta propiedad.
Proposición 1.28 Sean V un K-espacio vectorial, S un subespacio de V y {v 1 , . . . , v n } ⊆ V .
Entonces < v 1 , . . . , v n > ⊆ S ⇐⇒ v i ∈ S ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Demostración.
(⇒) Para cada 1 ≤ i ≤ n,
v i = 0.v 1 + · · · + 0.v i−1 + 1.v i + 0.v i+1 + · · · + 0.v n ∈ < v 1 , . . . , v n > ⊆ S,
de donde v i ∈ S.
(⇐) Como v 1 , . . . , v n ∈ S y S es un subespacio, entonces
n∑
α i v i ∈ S ∀ α i ∈ K. Luego,
< v 1 , . . . , v n > ⊆ S. □
i=1