fascgrado2

1.4 Suma de subespacios 35
Demostración. Supongamos que B S = {v i } i∈I y B T = {w j } j∈J .
i) ⇒ ii) Dado que B S y B T son sistemas de generadores de S y T respectivamente, entonces
B = B S ∪ B T es un sistema de generadores de V = S ⊕ T . Por otro lado, si
∑
α i v i + ∑ β j w j = 0,
j∈J
i∈I
} {{ }
∈S
} {{ }
∈T
como también se tiene 0 = 0 + 0 con 0 ∈ S y 0 ∈ T , por la proposición anterior
∑
i∈I α iv i = ∑ j∈J β jw j = 0. La independencia lineal de B S y B T implica que α i = 0
∀ i ∈ I y β j = 0 ∀ j ∈ J. Luego, B es linealmente independiente.
ii) ⇒ i) Como B = B S ∪ B T es una base de V , para cada v ∈ V existen α i ∈ K, i ∈ I,
y β j ∈ K, j ∈ J, casi todos nulos, tales que v = ∑ i∈I
α i v i + ∑ j∈J β jw j y por lo tanto
v = x + y con x = ∑ i∈I
α i v i ∈ S e y = ∑ j∈J β jw j ∈ T . Luego V = S + T .
Si v ∈ S ∩ T , se tiene que v = ∑ α i v i = ∑ β j w j , de donde ∑ α i v i + ∑ (−β j )w j = 0,
i∈I j∈J i∈I j∈J
y por la independencia lineal de B, resulta que α i = 0 ∀ i ∈ I y β j = 0 ∀ j ∈ J, de
donde v = 0 y S ∩ T = {0}.
□
Definición 1.47 Sea V un K-espacio vectorial y sea S ⊆ V un subespacio de V . Diremos
que T es un complemento de S si S ⊕ T = V .
Ejemplos.
1. Hallar un complemento de R n [X] en R[X].
Buscamos un subespacio S de R[X] tal que R[X] = R n [X] ⊕ S, es decir, R[X] =
R n [X] + S y R[X] = R n [X] ∩ S = {0}.
Se tiene que R n [X] = < 1, X, . . . , X n >.
Consideremos S = < X n+1 , . . . , X j , . . . > = < X i > i≥n+1 .
Es claro que R n [X] + S = R[X].
Si f ∈ R n [X] ∩ S, entonces f = 0 o gr(f) ≤ n, y además f =
Luego, f = 0.
En consecuencia, R[X] = R n [X] ⊕ S.
h ∑
i=n+1
2. Sea S = {f ∈ R[X] / f(1) = 0}. Hallar un complemento de S en R[X].
Vemos que S = < (X − 1)X i > i∈N0
. Sea T = < 1 >.
a i X i con a i ∈ R.
Dado f ∈ R[X], f = ( f −f(1) ) +f(1) y f −f(1) ∈ S, f(1) ∈ T . Entonces, S+T = R[X].
Sea f ∈ S ∩ T . Como f ∈ S, se tiene que f = (X − 1)g para algún g ∈ R[X] y como
f ∈ T , f = 0 o gr(f) = 0. Luego f = 0.
Por lo tanto S ⊕ T = R[X].