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1.1 Espacios vectoriales y subespacios 11
De la definición de K-espacio vectorial vemos que una forma de obtener nuevos elementos
de V a partir de los elementos de un subconjunto G ⊆ V es considerando sumas finitas de
múltiplos por escalares de elementos de G. Surge entonces la noción de combinación lineal:
Definición 1.13 Sea V un K-espacio vectorial, y sea G = {v 1 , . . . , v r } ⊆ V .
Una combinación
lineal de G es un elemento v ∈ V tal que v =
1 ≤ i ≤ r.
Ejemplos.
r ∑
i=1
α i .v i con α i
∈ K para cada
1. Sea G = {(1, 2), (3, 4)} ⊆ R 2 . Una combinación lineal de G es un vector v = α.(1, 2) +
β.(3, 4) con α, β ∈ R.
2. Sea G = {1, X, . . . , X n ∑
} ⊆ R n [X]. Una combinación lineal de G es n α i X i con α i ∈ R
para cada 0 ≤ i ≤ n.
i=0
La definición de combinación lineal se extiende al caso de subconjuntos no necesariamente
finitos del espacio vectorial considerado:
Definición 1.14 Sea V un K-espacio vectorial, sea I un conjunto de índices y sea G =
{v i / i ∈ I} ⊂ V . Una combinación lineal de G es un elemento v ∈ V tal que v = ∑ i∈I
α i .v i
donde α i = 0 salvo para finitos i ∈ I.
Ejemplos.
1. Sea G = {X i ∑
/ i ∈ N 0 } ⊆ R[X]. Una combinación lineal de G es ∞ α i X i donde α i ∈ R
y α i = 0 salvo para finitos valores de i ∈ N 0 .
2. Sea G = {(α, 0) : α ∈ R} ⊆ R 2 . Una combinación lineal de G es ∑ α∈R
β α .(α, 0) tal que
β α ∈ R y β α = 0 salvo para finitos α ∈ R.
i=0
Dado un espacio vectorial V , considerando las combinaciones lineales de los elementos
de ciertos subconjuntos de V , podemos obtener cualquier elemento del espacio vectorial en
cuestión. Como se verá en los ejemplos, en muchos casos esto nos permitirá describir conjuntos
infinitos (como por ejemplo R 2 ) utilizando finitos elementos del espacio.
Definición 1.15 Sea V un K-espacio vectorial y sea G ⊆ V . Se dice que G es un sistema de
generadores de V (y se nota < G > = V ) si todo elemento de V es una combinación lineal de
G.