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1.2 Sistemas de ecuaciones lineales 19
(⇒) Supongamos que B 11 ≠ 0, . . . , B ii ≠ 0 y B i+1 i+1 = 0, o sea
⎛
B 11 · · · B 1n
. 0 ..
.
.
.
. . .. B ii B i i+1 · · · B in
0 0 0
⎜ . . .
⎝ . . . M
0 · · · 0 0
⎞
⎟
⎠
Es claro que (1, 0, . . . , 0) es solución del sistema cuya matriz asociada es ( 0
sea x i+1 = 1, . . . , x n = 0.
M ) , o
De la i-ésima ecuación se despeja x i = −B i i+1
B ii
.
Se sigue así para calcular los valores de todas las variables. Se obtiene una solución de
H ′ de la forma (x 1 , . . . , x i , 1, 0, . . . , 0), que es una solución no nula del sistema. □
Ejemplo. Hallar ⎛ todos los valores de k ∈ R para los cuales el sistema homogéneo cuya matriz
⎞
asociada es ⎝ 2 −k + 1 1 ⎠ tiene solución única.
k + 1 −4 1
En primer término aplicamos el método de eliminación de Gauss para obtener un sistema
triangular equivalente al dado:
⎛
⎝ 1 2 k − 1
⎞
⎛
F 2 − 2F 1
2 −k + 1 1 ⎠ −→ ⎝ 1 2 k − 1
⎞
0 −k − 3 −2k + 3 ⎠
k + 1 −4 1 F 3 − (k + 1)F 1 0 −2k − 6 −k 2 + 2
F 3 − 2F 2
−→
⎛
⎝ 1 2 k − 1
0 −k − 3 −2k + 3
0 0 −k 2 + 4k − 4
Por el teorema anterior, el sistema tiene solución única si y sólo si −k−3 ≠ 0 y −k 2 +4k−4 ≠ 0,
es decir, para todo k ∈ R − {−3, 2}.
1.2.4 Sistemas lineales no homogéneos.
Para terminar, estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales en el caso general, es decir, cuando
las ecuaciones que integran el sistema no están necesariamente igualadas a 0.
Definición 1.25 Un sistema de ecuaciones lineales
⎧
⎪⎨ a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1m x m = b 1
H :
.
⎪⎩
a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nm x m = b n
⎞
⎠