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1.3 Independencia lineal y bases 27
• Si la matriz obtenida tiene alguna fila nula, el conjunto es linealmente dependiente. De
lo contrario, es linealmente independiente.
En efecto, en cada paso de la triangulación, lo que se hace es cambiar el conjunto de
vectores por otro conjunto como en 1., 2. o 3. de la proposición anterior. Luego, el
nuevo conjunto de vectores será l.i. si y sólo si el anterior era l.i. Si alguna fila de la
matriz obtenida es nula, es decir, uno de los vectores del conjunto de vectores obtenido
es el 0, es claro que el conjunto es l.d. Por otro lado, si ninguna fila de la matriz
triangular superior es nula, es fácil ver que el conjunto de vectores obtenido es l.i.
1.3.2 Bases y dimensión
Introducimos ahora el concepto de base de un espacio vectorial.
Definición 1.33 Sea V un K-espacio vectorial. Una familia {v α } α∈I se llama una base del
espacio vectorial V si {v α } α∈I es una familia linealmente independiente de V que satisface
< v α > α∈I = V .
Ejemplos.
1. En K n , B = {e 1 , . . . , e n }, donde (e i ) i = 1 y (e i ) j = 0 si j ≠ i, es una base, llamada la
base canónica de K n .
2. En K n×m , B = {E ij / 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base.
3. En K[X], B = {X i / i ∈ N 0 } es una base.
Dos sistemas de generadores cualesquiera de un K-espacio vectorial V pueden tener distinta
cantidad de elementos. Esto no sucede en el caso de dos bases y lo demostraremos para
espacios vectoriales finitamente generados, lo que nos permitirá definir la dimensión de un
espacio vectorial finitamente generado como la cantidad de elementos de una base cualquiera.
Teorema 1.34 Sea V un K-espacio vectorial. Supongamos que < v 1 , . . . , v r > = V y que
{w 1 , . . . , w s } ⊆ V es una familia linealmente independiente. Entonces s ≤ r.
Demostración. Como V = < v 1 , . . . , v r >, para cada 1 ≤ i ≤ s, existen α ij ∈ K (1 ≤ j ≤ r)
tales que w i =
r ∑
j=1
α ij v j . Consideremos el siguiente sistema de r ecuaciones y s incógnitas:
s∑
α hj x h = 0 1 ≤ j ≤ r. (1.1)
h=1
Sea (β 1 , . . . , β s ) una solución del sistema. Entonces
s∑
β h w h =
h=1
s∑ ( r∑ )
β h α hj v j =
h=1
j=1
s∑ ( r∑ )
β h α hj v j =
h=1
j=1