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Capítulo 1
Espacios vectoriales
En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R 2
y R 3 ), o también el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos y multiplicarlos
por números. Todos estos conjuntos comparten una cierta “estructura”, que está dada por
esa suma y ese producto por números, a la que llamaremos espacio vectorial. En este capítulo
presentaremos la noción de espacio vectorial y estudiaremos algunas propiedades básicas que
poseen los conjuntos con dicha estructura.
1.1 Espacios vectoriales y subespacios
1.1.1 Preliminares
La noción de espacio vectorial requiere de dos conjuntos: un conjunto K (los escalares) y
otro conjunto V (los vectores). Estos dos conjuntos deben satisfacer ciertas propiedades, que
esencialmente se refieren a que los elementos de V se puedan sumar entre sí y multiplicar por
elementos de K.
Comenzaremos dando algunas definiciones previas para poder después presentar la definición
precisa de espacio vectorial.
Definición 1.1 Sea A un conjunto no vacío. Una operación (o ley de composición interna u
operación binaria) de A es una función ∗ : A × A → A.
Notación. ∗(a, b) = c se escribe a ∗ b = c.
Ejemplos.
• + : N × N → N, tal que +(a, b) = a + b, es una operación de N.
• Como la resta, −(a, b) = a − b, no es una función de N × N en N, entonces no es una
operación de N.