fascgrado2

1.3 Independencia lineal y bases 25
∑
es decir, existen α j ∈ K (j ≠ i) tales que v i = n α j v j . Entonces
j=1
j≠i
∑i−1
0 = α j v j + (−1)v i +
j=1
n∑
j=i+1
de donde {v 1 , . . . , v n } no es linealmente independiente.
α j v j ,
(⇐) Si {v 1 , . . . , v n } es linealmente dependiente, existen α 1 , . . . , α n ∈ K no todos nulos, tales
∑
que n α i v i = 0. Sin pérdida de generalidad, supongamos que α n ≠ 0. Entonces
i=1
n−1
∑ α i
v n = − .v i ∈ < v 1 , . . . , v n−1 >.
α n
i=1
Luego, < v 1 , . . . , v n > = < v 1 , . . . , v n−1 >.
□
Ejemplos. Decidir si los siguientes conjuntos son linealmente independientes.
1. En R 3 , {(1, 0, 1), (1, −1, 0), (0, 0, 1)}.
Sean α 1 , α 2 , α 3 ∈ R tales que
α 1 (1, 0, 1) + α 2 (1, −1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0).
Comparando coordenada a coordenada resulta que α 1 , α 2 , α 3 son solución del sistema
de ecuaciones
⎧
⎨ α 1 + α 2 = 0
−α 2 = 0
⎩
α 1 + α 3 = 0
Es fácil ver que este sistema tiene como única solución a la trivial.
Luego, el conjunto {(1, 0, 1), (1, −1, 0), (0, 0, 1)} es linealmente independiente.
2. En R[X], {X i : i ∈ N 0 }.
Sean α i ∈ R (i ∈ N 0 ) tales que α i = 0 para casi todo i ∈ N 0 y ∑ α i X i = 0.
i∈N 0
Para que el elemento ∑ α i X i de R[X] sea el polinomio nulo, todos sus coeficientes
i∈N 0
deben ser 0. Luego, α i = 0 para todo i ∈ N 0 , de donde el conjunto {X i : i ∈ N 0 } es
linealmente independiente.
La siguiente proposición nos permitirá obtener otro método para decidir si un conjunto
de vectores en K n es linealmente independiente.
Proposición 1.32 Sea V un K-espacio vectorial. Entonces: