fascgrado2

1.1 Espacios vectoriales y subespacios 5
• Se define Q[ √ 2] = { n∑
a i ( √ }
2) i / a i ∈ Q, n ∈ N 0 .
cuerpo.
i=0
Veamos que (Q[
√
2], +, ·) es un
Usando que Q[ √ 2] ⊂ R, se puede probar fácilmente que (Q[ √ 2], +, ·) es un anillo conmutativo.
Observamos que Q[ √ 2] = {a + b √ 2 : a, b ∈ Q}. En efecto, para cada k ∈ N, se tiene
que ( √ 2) 2k = 2 k y ( √ 2) 2k+1 = 2 k√ ∑
2 y entonces, todo elemento de la forma n a i ( √ 2) i
con a i ∈ Q y n ∈ N 0 puede escribirse como a + b √ 2 con a, b ∈ Q. Recíprocamente, es
claro que todo elemento de la forma a + b √ 2 con a, b ∈ Q pertenece a Q[ √ 2].
Veamos ahora que todo elemento no nulo tiene inverso.
Sea a + b √ 2 ≠ 0. Entonces (a + b √ 2)(a − b √ 2) = a 2 − 2b 2 ≠ 0 (pues a, b ∈ Q), de donde
(a + b √ 2) −1 =
a
a 2 − 2b 2 + −b √
2.
a 2 − 2b 2
i=0
También en el caso de los cuerpos se pueden probar propiedades generales. Por ejemplo:
• Todo cuerpo (K, +, ·) es un dominio de integridad.
Tenemos que probar que a · b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0. Supongamos que a · b = 0. Si a = 0,
ya está. Si a ≠ 0, entonces existe a −1 tal que a · a −1 = a −1 · a = 1. Entonces
a −1 · (a · b) = a −1 · 0 ⇒ (a −1 · a) · b = 0 ⇒ 1 · b = 0 ⇒ b = 0.
Para poder completar la definición de espacio vectorial necesitamos definir una clase especial
de funciones que se aplican a elementos de dos conjuntos distintos:
Definición 1.7 Sean A y B dos conjuntos.
· : A × B → B.
Notación: · (a, b) = a · b
Una acción de A en B es una función
Estamos ahora en condiciones de dar la definición de espacio vectorial.
1.1.2 Espacios vectoriales
Definición 1.8 Sea (K, +, ·) un cuerpo. Sea V un conjunto no vacío, sea + una operación en
V y sea · una acción de K en V . Se dice que (V, +, ·) es un K-espacio vectorial si se cumplen
las siguientes condiciones:
i) (V, +) es un grupo abeliano.
ii) La acción · : K × V → V satisface: