Ejercicios de matemáticas

Sean L 1
la recta que queremos hallar y L 2
la recta que pasa por los puntos A y B. Denotemos
por m 1
y b 1
la pendiente y el intercepto con el eje y de la recta L 1
, respetivamente; es decir,
la ecuación de L 1
es y =m 1
x+b 1
. Así mismo denotemos por m 2
la pendiente de la recta L 2
.
Empleando los puntos (x 1
, y 1
) = (1,1) y (x 2
, y 2
) = (5,−1) podemos calcular m 2
:
1 1 2 1
m 2
= − − =− =−
5−1
4 2
1
m 1
=− = 2
1
Como L 1
es perpendicular a L 2
tenemos que m 1
×m 2
= −1 y por tanto − . Así la ecuación
de L 1
2
es y = 2 x+b 1
. El valor del intercepto b 1
se obtiene al reemplazar el punto C(3,2) en
la ecuación de la recta, es decir, 2=2(3)+b 1
. Por lo tanto b 1
= −4, así la ecuación de la recta L 1
es y = 2 x −4.
89 Solución
La simetría con respecto al eje x significa que para cualquier punto (x, y) del plano cartesiano
su simétrico con respecto al eje x es el punto (x, −y). Sabiendo que la recta L 2
es simétrica a
L 1
, con respecto del eje x, tenemos que el simétrico del intercepto de la recta L 1
con respecto
al eje y, el punto (0, −3), es entonces (0, 3) y este punto es entonces el intercepto de L 2
. El
intercepto de L 1
con respecto al eje x es el punto ⎛ 3
⎜
⎝ 4 , 0 ⎞ y su simétrico con respecto a x es el
⎟
⎠
mismo⎛
⎜
3 ⎝ 4 , 0 ⎞
⎟ .
⎠
Como dos puntos definen una recta, con ellos encontramos la ecuación de L 2
como y = −4x+3
90 Solución
Por la definición de valor absoluto sabemos que f(x)=|x + 2|=x + 2 cuando x+ 2 ≥ 0 es decir
si x ≥ −2.
Cuando x+2 <0, esto es si x < −2, f(x) = |x + 2| = −(x + 2) = −x − 2.
En otros términos esta función es equivalente a la función definida por secciones:
⎧x+ 2,
x≥−2
f ( x)=
⎨
⎩x− 2,
x<−2
f(x)
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4
-2
6
4
2
100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver
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