Rahoitusteoria - Helsinki.fi

Tehokkaat markkinat jatkuvassa ajassa 101
(1) Mikä on prossessi W yhtälössä (7.2)?
(2) Miten stokastinen differentiaaliyhtälö (7.2) tulee ymmärtää?
(3) Mikä on stokastisen differentiaaliyhtälön (7.2) ratkaisu?
Mikäli vastauksemme kohtaan (1) on sellainen, että prosessi W on oikealta
derivoituva poluittain eli raja-arvo
W t(ω) ′
W t+∆t (ω) − W t (ω)
= lim
∆t→0+ ∆t
on olemassa jokaisella ω, niin kohtien (2) ja (3) ratkaisut ovat selviä. Nimittäin
tällöin (7.2) on jokaisella ω tavallinen differentiaaliyhtälö
S ′ t(ω) = S t (ω) (µ + σW ′
t(ω)) .
Tunnetusti tämän differentiaaliyhtälön yksikäsitteinen ratkaisu on
S t (ω) = S 0 exp {µt + σW t (ω)} .
Osoittautuu, että tilanne ei ole näin helppo eli W t
′ ei ole olemassa.
Etsimme (erään) vastauksen ongelmaan (1). Koska W :n differenssit ovat
riippumattomia ja samoin jakautuneita, niin saamme ehdot
(a) Prosessilla W on riippumattomat lisäykset eli kaikilla t ≥ s satunnaismuuttuja
W t − W s on riippumaton σ-algebrasta Fs
W = σ(W u : u ≤ s).
(b) Prosessilla W on stationaariset lisäykset eli W t − W s ja W t−s ovat
samoin jakautuneita kaikilla s ≤ t.
Oletamme vielä varsin heikon jatkuvuusominaisuuden:
(c’) Prosessi W on stokastisesti jatkuva eli kaikilla ε > 0 ja t ∈ [0, T ] pätee
P(|W t − W s | ≥ ε) → 0, kun s → t.
Karkeasti ottaen ehto (c’) sanoo, että kiinteällä ennalta määrätyllä deterministisellä
ajan hetkellä prosessi ei hyppää. Esimerkiksi Poisson-prosessi toteuttaa
tämän ehdon.
Ehdot (a), (b) ja (c’) toteuttavia prosesseja kutsutaan Lévy-prosesseiksi.
Jatkuvassa ajassa historia F on σ-algebraperhe (F t ) t∈[0,T ] , missä F s ⊂
F t ⊂ F, kun s ≤ t. Jatkuva-aikainen prosessi Y = (Y t ) t∈[0,T ] on (P, F)-
martingaali, jos
E s [Y t ] := E [Y t |F s ] = Y s