Rahoitusteoria - Helsinki.fi

Yhden askeleen hinnoittelumalli 9
Pankkitalletus B tulee ymmärtää, kuten osake, laajassa merkityksessä. Se
on vain jokin riskitön sijoitus (riskless asset). Itse asiassa B :n rooli on vain
toimia rahayksikkönä eli numeräärinä, jonka suhteen diskonttaamme.
2.1 Määritelmä. Edellä määritely kokoelma (B, S, Ω, F, P) on (yhden askeleen)
hinnoittelumalli. Tässä siis
(i) B = (B 0 , B 1 ) on pankkitalletus tänään ja huomenna. Sekä B 0 että B 1
ovat deterministisiä.
(ii) S = (S i 0, S i 1) d i=1 on osakevektori tänään ja huomenna. Vektori S 0 on
deterministinen ja S 1 on satunnaismuuttuja.
(iii) (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus eli malli epävarmuudelle.
Investoijalla on 1 + d mahdollista sijoituskohdetta: pankkitalletus B ja
d erilaista osaketta S 1 , . . . , S d . Investoija valitsee salkun (poftfolio)
missä
π = (β, γ 1 , . . . , γ d ) ∈ R 1+d ,
β on pankkitalletusten lukumäärä,
γ i on osakkeiden S i lukumäärä, i = 1, . . . , d.
Negatiivinen β tarkoittaa pankkilainaa ja negatiivinen γ i tarkoittaa osakkeen
S i lyhyeksi myyntiä (short-selling). Investoija siis myy osakkeen, jota
hän ei omista. Tämä saattaa olla joskus laillista.
Salkun π varallisuus (wealth) hetkellä t = 0 on
(2.2)
V π
0 := βB 0 +
d∑
γ i S0 i .
i=1
Salkun π varallisuus hetkellä t = 1 on satunnaismuuttuja
ω ↦→ V π
1 (ω) = βB 1 +
d∑
γ i S1(ω).
i
2.3 Väite. Salkun π = (β, γ) varallisuuden muutos eli voitto (gain) ∆V1 π :=
V1 π − V 0 π toteuttaa yhtälön
i=1
(2.4)
∆V1 π = β∆B 1 + ∑ γ i ∆S1 i .
i=1