Rahoitusteoria - Helsinki.fi

Täydellisyys 31
jollekin Z = Z(l) ∈ L ∞ (Ω, F, Q). Normeeraamalla funktionaalia l voimme
olettaa, että ‖Z‖ ∞ ≤ 1/2. Nyt voimme asettaa
P ∗ (dω) := (1 + Z(ω)) Q(dω).
Tällöin P ∗ ∼ Q ∼ P ja E P∗ [V ] = E Q [V ] kaikilla V ∈ V. Koska 1 ∈ V
näemme, että P ∗ on todennäköisyysmitta. Valitsemalla V = S i näemme,
että P ∗ ∈ Q. Lisäksi
[ ] F
c ∗ [F ] + l(F )
:= E P∗ = EP∗
B 1 B 1
>
[ ] F
E Q B 1
= c
eli c ∗ > c on F :n arbitraasivapaa hinta. Tekemälle samat temput kuin edellä,
mutta asettamalla
P ∗ (dω) := (1 − Z(ω)) Q(dω)
löydämme F :lle c:tä pienemmän arbitraasivapaan hinnan.
3.12 Esimerkki. Tarkastelemme yhden osakkeen ja kahden tilan hinnoittelumallia
eli korollista keskeistä lelumallia. Olkoon korko r > −1, S 0 > 0 vakio
ja S 1 satunnaismuuttuja
S 0 −→ S 1 (ω)
↗
↘
S 1 (1) = S 0 (1 + u)
tn:llä p
S 1 (0) = S 0 (1 + d) tn:llä 1 − p.
Olkoon p ∈ (0, 1) ja d < u. Nyt jokainen ehdollinen vaade F on toistettavissa.
Nimittäin meidän tulee vain ratkaista painot β ja γ yhtälöparista
βB 1 + γS 1 (1) = F (1),
βB 1 + γS 1 (0) = F (0).
Saamme
F (1) − F (0)
γ =
S 1 (1) − S 1 (0)
F (1) − F (0)
=
S 0 (u − d) ,
β = 1 S 1 (0)
(F (0) −
B 1 S 1 (1) − S 1 (0)
(
1
= F (0) − 1 + d
1 + r u − d
(
) )
F (1) − F (0)
(
F (1) − F (0)) ) .