Rahoitusteoria - Helsinki.fi

Harjoitustehtäviä lukuun 9 146
“Jatkuva aika” pähkinänkuoressa
• Satunnaiskulkumalli =⇒ Lévy-prosessi.
• Jatkuva satunnaiskulkumalli =⇒ Brownin liike.
Black–Scholes-mallista
• Täydellinen ja arbitraasivapaa.
• Ekvivalentin martingaalimitan Q suhteen
missä W Q on Brownin liike.
dS t
S t
= σ dW Q
t ,
• Eurooppalaisen vaateen F arbitraasivapaa hinta = E Q [ F B T
].
• Vaateen F = f(S T ) hinta
∫ ∞ )
v(t, S t ) = e −r(T −t) f
(S t e r(T −t)+σ√ T −ty− σ2 e
2 (T −t) − y2
2 dy
√ .
−∞ 2π
Toisto:
γ t = ∂v
∂x (t, S t).
• Hinta v ja toisto ∂v saadaan myös ratkaisemalla v Black–
∂x
Scholes-osittaisdifferentiaaliyhtälöstä
∂v
∂t + σ2 v
2 x2 ∂x − rx∂v − rv 2 ∂x
= 0,
v(T, ·) = f.
∽ Finis opus ∼