Rahoitusteoria - Helsinki.fi

Odotusarvo ja riskineutraali mitta 15
Kertaamme odotusarvon perusominaisuuksia apulauseina. Nämä apulauseet
ovat kohtalaisen helppo todistaa, jos X ja Y ovat diskreettejä tai
jatkuvia satunnaismuuttujia. Yleisen tapauksen todistaminen ei myöskään
ole vaikeaa, mutta se vaatii mittateoriaa. Siksi emme todista niitä, vaan
viittaamme esimerkiksi kurssiin Mitta ja integraali.
2.17 Apulause. Olkoon X, Y ∈ L 1 (P). Tällöin
(i) E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ] kaikilla a, b ∈ R,
(ii) E[c] = c kaikilla c ∈ R,
(iii) jos X ≤ Y , niin E[X] ≤ E[Y ],
(iv) jos P(X ≥ 0) = 1 ja E[X] = 0, niin P(X = 0) = 1.
Seuraava tulos on eräänlainen muuttujanvaihtokaava.
2.18 Apulause. Olkoon f : R d → R mitallinen funktio ja olkoon X =
(X 1 , . . . , X d ) sellainen satunnaisvektori, että f(X) ∈ L 1 (P). Tällöin
∫
E[f(X)] := y P(f(X) ∈ dy)
R
∫
= f(x) P(X ∈ dx).
R d
Odotusarvon ja raja-arvon tai derivoinnin järjestyksen vaihtaminen voidaan
perustella seuraavan tuloksen avulla. Apulausetta 2.19 ehdon (i) vallitessa
kutsutaan monotonisen kovergenssin lauseeksi ja ehdon (ii) vallitessa
dominoidun konvergenssin lauseeksi. Ne ovat mittateorian suuria tuloksia.
Luonnollisestikaan emme todista niitä. Viittaamme kurssiin Mitta ja integraali.
2.19 Apulause. Olkoon X 1 , X 2 , . . . jono integroituvia satunnaismuuttujia.
Oletamme, että X n → X ∞ melkein varmasti eli
Tällöin
P(X n → X ∞ ) = 1.
E[X n ] → E[X ∞ ],
jos jompi kumpi seuraavista ehdoista on täytetty.
(i) Suppeneminen X n → X ∞ on monotonista.
(ii) |X n | ≤ Y kaikilla n, missä Y on integroituva.