C++ et éléments finis Note de cours de DEA (version provisoire)

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20 CHAPITRE 3. LES CLASSES TABLEAUX x=0 ; GradienConjugue(A,C,b,x,n,1e-10); s = A*x ; cout
Chapitre 4 Méthodes d’éléments finis P1 4.1 Le problème et l’algorithme Le problème est de résoudre numériquement l’équation de la chaleur dans un domaine Ω de IR 2 . ∆u = f, dans Ω, u = g sur ∂Ω, u = u0 au temps 0 (4.1) Nous utiliserons la discrétisation par des éléments finis P 1 Lagrange construite sur un maillage Th de Ω. Notons Vh l’espace des fonctions éléments finis et V0h les fonctions de Vh nulle sur bord de Ωh (ouvert obtenu comme l’intérieur de l’union des triangles fermés de Th). Vh = {v ∈ C 0 (Ωh)/∀K ∈ Th, v|K ∈ P 1 (K)} (4.2) Après utilisation de la formule de Green, et en multipliant par δt, le problème peut alors s’écrire: medskip Calculer u n+1 h ∈ Vh à partir de u n h , où la donnée initiale u0 h est interpolé P 1 de u0. ∇uh∇vh = Ω Ω fvh, ∀vh ∈ V0h, (4.3) uh = g sur les sommets de Th dans ∂Ω Nous nous proposons de programmer cette méthode l’algorithme du gradient conjugue pour résoudre le problème linéaire car nous avons pas besoin de connaître explicitement la matrice, mais seulement, le produit matrice vecteur. On utilisera la formule l’intégration sur un triangle K qui est formé avec les 3 sommets qi K , suivante: K f ≈ aireK 3 3 f(q i K) (4.4) Puis, notons, (wi )i=1,Ns les fonctions de base de Vh associées aux Ns sommets de Th de coordonnées (qi )i=1,Ns, tel que wi (qj) = δij. Notons, U k i le vecteur de IR Ns associé à uk et tel que uk = i=1,Ns U k i wi . Sur un triangle K formé de sommets i, j, k tournants dans le sens trigonométrique. Notons, H i K le vecteur hauteur pointant sur le sommet i du triangle K et de longueur l’inverse de la hauteur, alors on a: i=1 ∇w i |K = H i K = (qj − q k ) ⊥ 2 aireK où l’opérateur ⊥ de IR 2 est défini comme la rotation de π/2, ie. (a, b) ⊥ = (−b, a). Algorithme 2 Le plus simple des programmes d’éléments finis 1. On peut calculer ui = Ω wi f en utilisant la formule 4.4, comme suit: (a) ∀i = 1, Ns; ui = 0; (b) ∀K ∈ Th; ∀i sommet de K; ui = σi + f(bK)aireK/3; où bK est le barycentre du triangle K. 21 (4.5)
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Chapitre 9 Graphique 9.1 Interface
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9.2. TRACER DES ISOVALEURS 73 void
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Chapitre 10 Problèmes physique Nou
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10.2. PROBLÈME DE STOKES 77 10.2 P
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Chapitre 11 Triangulation Automatiq
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11.1. INTRODUCTION 87 1 7 8 2 3 6 F
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11.1. INTRODUCTION 89 Remarque: Il
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11.1. INTRODUCTION 93 Théorème 4
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Bibliographie [1] D. Knuth The art
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