C++ et éléments finis Note de cours de DEA (version provisoire)

22 CHAPITRE 4. MÉTHODES D’ÉLÉMENTS FINIS P1
2. Le produit y matrice A par un vecteur x est dans ce cas s’écrit mathématiquement:
yi = K∈Th
K ∇wi |K∇w j |Kxj si i n’est pas sur le bord
0 si i est sur le bord
Pour finir, on initialiserons le gradient conjugué par:
ui =
0
g(qi)
si i n’est pas sur le bord
si i est sur le bord
Les sources et un maillage sont accessibles sur la toile à l’adresse suivante: FTP:sfemGC.tar.gz (version tar
compressée). Pour décompresser sous Unix, dans une fenêtre shell entré:
tar zxvf sfemGC.tar.gz
4.2 Les classes de base pour les éléments finis
Nous allons définir les outils informatiques en C++ pour programmer l’algorithme 2, pour cela il nous faut
modéliser IR 2 , le maillage formé de triangles qui sont définis par leurs trois sommets. Mais attention, les
fonctions de bases sont associées au sommet et donc il faut numéroter les sommets. La question classique
est donc de définir un triangle soit comme trois numéro de sommets, ou soit comme trois pointeurs sur des
sommets (nous ne pouvons pas définir un triangle comme trois références sur des sommets car il est impossible
initialiser des références par défaut). Les deux sont possibles, mais les pointeurs sont plus efficaces pour faire
des calculs, d’où le choix de trois pointeurs pour définir un triangle. Maintenant les sommets seront stockés
dans un tableau donc il est inutile de stocker le numéro du sommet dans la classe qui définit un sommet,
nous ferons une différence de pointeur pour trouver le numéro d’un sommet, ou du triangle
Donc un maillage (classe de type Mesh) contiendra donc un tableau de triangles (classe de type Triangle)
et un tableau de sommets (classe de type Vertex), bien le nombre de triangles (nt) , le nombre de sommets
(nv), de plus il me paraît naturel de voir un maillage comme un tableau de triangles et un triangle comme
un tableau de 3 sommets.
4.2.1 La classe Label (numéros logiques)
Nous avons vu que le moyen le plus simple de distinguer (pour les conditions aux limites) les sommets appartenant
à une frontière était de leur attribuer un numéro logique ou étiquette (label en anglais). Rappelons
que dans le format FreeFem++ les sommets intérieurs sont identifiés par un numéro logique nul.
De manière similaire, les numéros logiques des triangles nous permettront de séparer des sous-domaines Ωi,
correspondant, par exemple, à des types de matériaux avec des propriétés physiques différentes.
La classe Label va contenir une seule donnée (lab), de type entier, qui sera le numéro logique.
Listing 3 (sfem.hpp - la classe Label)
class Label {
friend ostream& operator > r.lab ; return f ; }
public:
int lab ;
Label(int r=0):lab(r){}
int onGamma() const { return lab ;}
} ;
Cette classe n’est pas utilisée directement, mais elle servira dans la construction des classes pour les sommets
et les triangles. Il est juste possible de lire, écrire une étiquette, et tester si elle est nulle (pas de conditions
aux limites).