Effet tunnel dépendant du spin : Des simples aux doubles ... - LPM

Introduction, généralités
donc la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée aux interfaces barrière-électrodes qui
détermine la magnétorésistance. Comme l'ont fait remarquer Zhang et Levy [ZHA 99] la magnétorésistance
ainsi calculée est extrêmement dépendante du profil de la barrière. Dans le cas
extrême où l'approximation WKB (voir plus bas) est valable, la continuité n'est pas assurée et
le coefficient de transmission ne dépend pas du vecteur d'onde en dehors de la barrière. La
magnétorésistance est alors nulle. L'absence d'influence de la densité d'états dans ce modèle
d'électrons libres tient à la conservation de la composante perpendiculaire du vecteur d'onde.
I.2.3 Expressions analytiques du courant tunnel
Si le calcul analytique du coefficient de transmission d'une barrière rectangulaire est
possible à tension nulle, il devient impossible à tension finie lorsque la barrière devient
trapézoïdale. En effet, la fonction d'onde dans la barrière est alors une superposition de
fonctions d'Airy qui n'ont pas d'expression analytique. On utilise alors l'approximation WKB
(Wentzel, Kramers, Brillouin) qui suppose que la fonction d'onde dans la barrière prend la
forme :
C
2mU
( ( z) − Ez)
ψ ( ( )
z = exp − k′ z dz)
k′ ( z)
∫ . avec k′ ( z, Ez)
=
2
!
et le coefficient de transmission vaut :
d ⎛
⎞
DE ( z) = exp ⎜ − 2∫
k′ ( zE , z)
dz⎟
⎝ 0 ⎠
Comme nous l'avons mentionné précédemment, ce coefficient ne dépend pas des vecteurs
d'onde en dehors de la barrière (l'approximation consiste justement à considérer que leur
influence est négligeable devant le terme exponentiel).
Ce coefficient peut alors être utilisé dans les expressions précédentes du courant tunnel.
Mais les intégrales ne peuvent être calculées que numériquement ou analytiquement au
prix de simplifications supplémentaires.
Simmons [SIM 63] base son calcul sur une hauteur moyenne de barrière ϕ (mesurée par
rapport au niveau de Fermi) . Le coefficient de transmission vaut alors :
-0,5 -1
DE = exp − Adϕ − E avec A= 2 2m ! = 10, 2 eV .nm
( z) ( z)
On obtient alors la formule classique (valable tant que la barrière reste trapézoïdale) :
e
1
1
1
1
J = 2 ( ( ϕ0− 2 eV ) exp( − Ad ϕ0− 2 eV ) − ( ϕ0+ 2 eV ) exp(
− Ad ϕ0+
2 eV ) )
2πhd
où ϕ 0 est la hauteur de barrière à tension nulle.
A basse tension, on retrouve un comportement linéaire avec une conductance
surfacique :
2
e 2m
ϕ0
G(
0)
= 2 exp(
− Ad ϕ0
)
h d
Brinkman et al. [BRI 70] ont, eux, réalisé un développement limité en tension de la
conductance différentielle pour une barrière trapézoïdale de hauteur moyenne ϕ 0 et de
différence de hauteur ∆ϕ :
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