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Oscillateur harmonique 14
On arrive à résoudre le problème de connexion pour l’équation de Bessel grâce à
l’existence des représentations intégrales de type (3.10) (pour ν /∈ Z leur forme est un
peu plus compliquée). En analysant l’asymptotique des intégrales quand r → ∞ il est
possible de montrer que
a = e−iπν/2−iπ/4
√
2π
, b = eiπν/2+iπ/4
√
2π
.
Exercice 36 (difficile). Démontrer ces formules dans le cas ν ∈ Z à l’aide de (3.10).
4. Oscillateur harmonique
Dans ce chapitre, on étudie l’équation différentielle ordinaire suivante:
Ĥψ = λψ,
Ĥ = − d2
dx 2 + x2 ,
où λ ∈ R est un paramètre constant. En mécanique quantique, l’opérateur Ĥ = ˆp2 x + ˆx 2
représente l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique. Il nous sera commode d’introduire
la notation λ = 2ε + 1 et de réécrire l’équation comme
( )
d
2
(4.1)
dx 2 − x2 + 1 + 2ε ψ(x) = 0.
Exercice 37. Montrer que Ĥ est formellement symétrique par rapport au produit scalaire
(4.2) (ϕ, ψ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x) ψ(x) dx.
4.1. Analyse asymptotique. Considérons d’abord le comportement asymptotique des
solutions de (4.1) lorsque x → ±∞. De façon analogue à la précédente, introduisons la
notation ψ(x) = e f(x) et supposons que
(4.3) f(x → +∞) = P (x) + α ln x + a 1
x + a 2
x 2 + . . . ,
où P (x) est un polynôme de degré d: P (x) = Ax d +O ( x d−1) . L’équation pour f(x) qu’on
obtient à partir de (4.1) s’écrit sous la forme
f ′′ (x) + ( f ′ (x) ) 2 − x 2 + 1 + 2ε = 0.
En substituant dans cette équation le développement de f(x),
(
f(x → +∞) = Ax d + o x d) ,
(
f ′ (x → +∞) = Ad x d−1 + O x d−2) ,
(
f ′′ (x → +∞) = Ad(d − 1)x d−2 + O x d−3) ,
on trouve
Ad(d − 1)x d−2 + O
(x d−3) + A 2 d 2 x 2d−2 + O
(x 2d−3) −x 2 + 1 + 2ε = 0.
} {{ } } {{ }
f ′′ (x)
(f ′ (x)) 2
Si d = 1, la plus grande puissance de x est égale à 2, mais dans ce cas le coefficient de
x 2 est égal à −1, et on ne peut pas l’annuler (contradiction). D’autre part si d ≥ 2, la plus
grande puissance de x est égale à 2d − 2, avec le coefficient A 2 d 2 . Le seul terme qui peut