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Séparation des variables en dimension 3 et harmoniques sphériques 28
où on a utilisé que Γ(z + 1) = zΓ(z) et que pour tout n ∈ N on a Γ(n + 1) = n! .
En combinant (5.28) avec (5.29), on peut facilement montrer que
(5.30) α k = 4π · 22l (l!) 2
2l + 1 · k!
, k = 0, 1, . . . , 2l,
(2l − k)!
ce qui donne par la suite
(5.31) ‖g m l ‖2 = α l+m = 4π · 22l (l!) 2
Définition 62. Soient {Y m l
(5.32) Y m l
2l + 1
(−1)m
(θ, ϕ) = ∥
∥ gm l (θ, ϕ) = C m l
∥g m l
(l + m)! · , m = −l, −l + 1, . . . , l.
(l − m)!
} l’ensemble des fonctions suivantes:
(−1) m
2 l l!
où l = 0, 1, . . . , ∞ et m = −l, −l + 1, . . . , l. Le coefficient C
l
m
√
(5.33) C l m (2l + 1) (l − m)!
=
4π (l + m)! .
Les fonctions {Y m l
} sont appelées les harmoniques sphériques.
En résumant les résultats précédents, on obtient
[
e iϕ (∂ θ + i ctg θ ∂ ϕ )] l+m(sin
θ) l e −ilϕ ,
est donné par
Théorème 63. Les harmoniques sphériques (5.32) forment un ensemble complet et orthonormé
des fonctions propres communes de ˆL 2 et ˆL z , c’est-à-dire:
( )
ˆL 2 Y l m = l(l + 1)Y l m , ˆLz Y l m = mY l m , Y l m , Y l m′
′ = δ ll ′δ mm ′ .
Remarque 64. Le facteur (−1) m dans la définition (5.32) ne change pas la norme de Y m l .
En effet, il a été introduit afin de respecter les conventions historiques.
Simplifions la représentation (5.32):
Exercice 65. Vérifier que pour tout ν ∈ C
e iϕ[ ∂ θ + i ctg θ ∂ ϕ
]e −iνϕ ψ(θ) = e −i(ν−1)ϕ[ ]
∂ θ + ν ctg θ ψ(θ).
En utilisant ce résultat, montrer que
[ ] [ ] d d
g m l (θ, ϕ) = eimϕ dθ + (−m + 1) ctg θ dθ + (−m + 2) ctg θ × . . .
[ ] [ ]
d d
. . . ×
dθ + (l − 1) ctg θ dθ + l ctg θ (sin θ) l .
Exercice 66. Vérifier que pour tout ν ∈ C
[ d
dθ + ν ctg θ ]
ψ(θ) = (sin θ) −ν
d
dθ (sin θ)ν ψ(θ).
A l’aide de cette relation, montrer que
[ ]
g m l (θ, ϕ) = eimϕ (sin θ) m 1 d l+m
(sin θ) 2l =
sin θ dθ
(5.34)
= (−1) m e imϕ (sin θ) m [ d
l+m
dz l+m (
z 2 − 1 ) l
]
z=cos θ
.
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