cours et exercices - lmpt

Séparation des variables en dimension 3 et harmoniques sphériques 30
Exercice 70. Montrer la relation
P −m
m (l − m)!
l
(z) = (−1)
(l + m)! P l m (z).
On pourra utiliser 1) relations de récurrence (5.38)–(5.39) et 2) induction sur m.
Exercice 71. En utilisant le résultat précédent, montrer que Y
l m(θ, ϕ) = (−1)m Y −m
l
(θ, ϕ).
Un cas particulièrement important pour les applications est celui des solutions ayant une
symétrie axiale. Dans ce cas, on s’intéresse aux fonctions propres communes de ˆL 2 et ˆL z
qui ne dépendent pas de ϕ. En examinant (5.36), on voit que cette condition sélectionne
parmi toutes les fonctions {Y
l m } celles avec m = 0. On note
où C l =
√
2l + 1
4π
Y l (θ) = Y 0 l (θ, ϕ) = C l P l (cos θ),
et P l (z) est le polynôme de degré l défini par
(5.40) P l (z) = P l 0 (z) = 1
2 l l!
Nous avons en particulier:
(5.41)
P 0 (z) = 1, P 1 (z) = z,
d l
dz l (
z 2 − 1 ) l
.
P 2 (z) = 3z2 − 1
, P 3 (z) = z(5z2 − 3)
,
2
2
P 4 (z) = 35z4 − 30z 2 + 3
, P 5 (z) = z(63z4 − 70z 2 + 15)
,
8
8
. . . . . .
Définition 72. Les polynômes {P l (z)} ainsi définis (avec l = 0, 1, . . . , ∞) s’appellent les
polynômes de Legendre. La relation (5.40) s’appelle la formule de Rodrigues.
Les polynômes de Legendre vérifient certaines relations d’orthogonalité qui s’obtiennent
à partir de (5.37) en posant m = 0:
(5.42)
∫ 1
−1
P l m (z)P l m 2
′ (z) dz =
2l + 1 δ ll ′ .
D’autre part on n’a pas de relations de récurrence pour {P l } qui découlent de (5.38)–
(5.39), car ces dernières formules relient des fonctions sphériques de Laplace avec la même
valeur de l.
Nous allons voir ci-dessous qu’il est quand même possible d’obtenir des relations de
récurrence sur l. Par contre elles ne découlent pas (directement) de l’algèbre du moment
angulaire — dans ce sens, leur “origine” est très différente de celle des relations
(3.8)–(3.9) et (5.38)–(5.39) vérifiées par les fonctions de Bessel et harmoniques sphériques
respectivement.
Introduisons deux opérateurs ẑ et ˆ∂ qui agissent sur les fonctions d’une variable z de la
façon suivante:
( ˆ∂f)(z) = df
dz (z), (ẑf)(z) = zf(z).
[ ]
[
On peut facilement vérifier que ˆ∂, ẑ = 1 et montrer par induction que ˆ∂k , ẑ]
= k ˆ∂ k−1 .
Transformons maintenant la formule de Rodrigues pour P l+1 (z) en utilisant ces relations