cours et exercices - lmpt

Séparation des variables en dimension 3 et harmoniques sphériques 26
d’où le résultat.
Au premier regard, on peut penser qu’il y a une contradiction entre les Propositions 57
et 58. Effectivement, les fonctions g k,± =
(ˆL±
) k
g vérifient
ˆL 2 g k,± = l(l + 1)g k,± , ˆLz g k,± = (m ± k)g k,± .
On aurait pu supposer que g ±,k sont des fonctions propres communes de ˆL 2 et ˆL z qui correspondent
aux valeurs propres l(l + 1) et m ± k. D’autre part pour k suffisamment grand
m ± k n’appartient plus à l’intervalle [−l, l ]. La solution de ce paradoxe est que les fonctions
g ±,k peuvent aussi s’annuler identiquement. On voit donc que c’est nécessairement
le cas pour m ± k /∈ [−l, l ].
Par conséquent, s’il existe une fonction propre commune g de ˆL 2 et ˆL z avec les valeurs
propres associées l(l + 1) et m, alors il existe aussi une fonction propre commune h avec
le même l, qui vérifie les équations:
(5.22) ˆL− h = 0, ˆLz h = m ′ h.
Toute autre fonction propre de ˆL 2 et ˆL z avec le même l s’obtient à partir de h par l’action
) k.
des opérateurs
(ˆL+
D’autre part, d’après (5.21) on a
(
l + 1 − m
′ ) ( l + m ′) (h, h) =
(ˆL− h, ˆL − h)
= 0,
et donc l = −m ′ ∈ Z (notons que l+1−m ′ ≠ 0 car dans ce cas m ′ /∈ [−l, l ]). Ceci signifie
que l est un nombre entier supérieur ou égal à 0.
Résumé.
(1) Fonctions propres communes g m l (θ, ϕ) de ˆL 2 et ˆL z sont caractérisées par deux
nombres l et m:
ˆL 2 g m l = l(l + 1) g m l ,
ˆL z g m l = mg m l ,
avec l = 0, 1, 2, . . . , ∞ et m = −l, −l + 1, . . . , l. En mécanique quantique, l et
m sont appelés le nombre quantique orbital et magnétique.
(2) Pour tout l les fonctions g −l
l
et g l l vérifient
(5.23) ˆL− g −l
l = 0, ˆL+ g l l = 0.
Toute autre fonction g m l
(5.24) g −l+k
l
=
s’obtient facilement à partir de g −l
) k (ˆL+ g
−l
l
, k = 0, 1, 2, . . . , 2l.
Les fonctions ( {g) m l } sont orthogonales par rapport au produit scalaire (5.19), c’està-dire,
g m l , gm′ l ′ ∼ δ ll ′ δ mm ′.
Nous allons maintenant décrire l’ensemble {g m l } plus explicitement. Tout d’abord notons
que ˆL z g −l
l = −lg−l l
implique g−l
l (θ, ϕ) = G(θ)e−ilϕ . En substituant cette expression
dans (5.23), on obtient une équation différentielle ordinaire pour G(θ):
(− d )
dθ + l ctg θ G(θ) = 0.
l :
□