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Séparation des variables en dimension 3 et harmoniques sphériques 22
Calculons par exemple
[ˆL 2 , ˆL x ] = [ˆL 2 y, ˆL x ] + [ˆL 2 z, ˆL x ] =
(ˆL2 y ˆLx − ˆL
)
x ˆL2 y +
(ˆL2 z ˆLx − ˆL
)
x ˆL2 z
=
(ˆL2 y ˆLx − ˆL y ˆLx ˆLy + ˆL y ˆLx ˆLy − ˆL
)
x ˆL2 y
+
(ˆL2 z ˆLx − ˆL z ˆLx ˆLz + ˆL z ˆLx ˆLz − ˆL
)
x ˆL2 z =
(ˆLy [ˆL y , ˆL x ] + [ˆL y , ˆL
)
x ]ˆL y
(ˆLz [ˆL z , ˆL x ] + [ˆL z , ˆL
)
x ]ˆL z
=
=
(−iˆL y ˆLz − iˆL z ˆLy
)
+
+
)
(iˆL z ˆLy + iˆL y ˆLz = 0.
=
=
Deux autres commutateurs s’obtiennent de la même manière.
□
Exercice 50. Montrer que
(5.15) ˆL2 = ˆL + ˆL− + ˆL z (ˆL z − 1) = ˆL − ˆL+ + ˆL z (ˆL z + 1).
On s’intéresse par la suite à l’expression explicite des opérateurs différentiels ˆL x,y,z , ˆL ±
et ˆL 2 en coordonnées sphériques
⎧
⎪⎨ x = r cos ϕ sin θ,
y = r sin ϕ sin θ,
⎪⎩
z = r cos θ.
Proposition 51. Opérateurs ˆL x,y,z , ˆL ± et ˆL 2 , définis par (5.10), (5.12) et (5.14) peuvent
s’écrire sous la forme
⎧
⎪⎨
ˆL x = i sin ϕ ∂ θ + i cos ϕ ctg θ ∂ ϕ ,
(5.16)
ˆL y = −i cos ϕ ∂ θ + i sin ϕ ctg θ ∂ ϕ ,
⎪⎩ ˆL z = −i∂ ϕ ,
{ˆL+ = e iϕ (∂ θ + i ctg θ ∂ ϕ ) ,
(5.17)
(5.18)
Notons tout d’abord que
Explicitement on a
⎛
⎝ ∂ ⎞
r
∂ θ
∂ ϕ
ˆL − = e −iϕ (−∂ θ + i ctg θ ∂ ϕ ) ,
(
ˆL 2 = − ∂ θθ + ctg θ ∂ θ + 1 )
sin 2 θ ∂ ϕϕ .
⎠ = A
⎛
A = ⎝
⎛
⎝ ∂ x
∂ y
∂ z
⎞
⎠ , A =
⎛
⎜
⎝
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂x
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂ϕ
cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ
r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ −r sin θ
−r sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ 0
Afin d’exprimer ∂ x , ∂ y , ∂ z en fonction de ∂ r , ∂ θ , ∂ ϕ , on doit calculer la matrice inverse A −1 .
Le déterminant de A coïncide avec la jacobienne de la transformation (x, y, z) → (r, θ, ϕ),
∂z
∂r
∂z
∂θ
∂z
∂ϕ
⎞
⎠ .
⎞
⎟
⎠ .