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Mécanique quantique, séparation des variables et équation de Bessel 4
Ces 2 matrices ont les mêmes vecteurs propres
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛
1
0
0
0
x 1 = ⎜
⎝ 0 ⎟
⎠ , x 1
2 = ⎜
⎝ 0 ⎟
⎠ , . . . , x n = ⎜ .
⎝ 0
.
.
1
Il est facile de vérifier que les vecteurs v j = Sx j (j = 1, . . . , n) sont les vecteurs propres
de A et B. On a par exemple:
⎞
⎟
⎠ .
Av j = SA d S −1 v j = SA d S −1 · Sx j = SA d x j = λ j Sx j = λ j v j ,
et, de façon analogue, Bv j = µ j v j .
L’application de la même idée (diagonalisation simultanée) à la résolution des équations
aux dérivées partielles s’appelle la procédure de séparation des variables. Aussi, on l’utilise
très souvent (quoique implicitement) en mécanique quantique, où les matrices hermitiennes
sont remplacées par des opérateurs symétriques/autoadjoints (grosso modo ça correspond
à la limite n → ∞). Un exemple de telles applications sera considéré dans le section
suivante.
□
2. Mécanique quantique, séparation des variables et équation de Bessel
On s’intéresse à l’équation suivante pour une fonction ψ de 2 variables réelles x, y:
( )
∂
2
(2.1)
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + λ ψ(x, y) = 0.
Nous allons imposer des conditions au bord sur ψ(x, y) un peu plus tard.
Si l’on note
( )
∂
2
Ĥ = −∆ 2 = −
∂x 2 + ∂2
∂y 2 , E = λ,
l’équation (2.1) peut être vu comme l’équation de Schroedinger stationnaire Ĥψ = Eψ
décrivant une particule libre en dimension 2 (Ĥ est l’hamiltonien de la particule, E est
son énergie). Quelques obervations:
• L’opérateur Ĥ est formellement symétrique par rapport au produit scalaire
∫∫
(2.2) (ϕ, ψ) = ϕ(x, y) ψ(x, y) dx dy,
R 2
c’est-à-dire (ϕ, Ĥψ) = (Ĥϕ, ψ) pour tout ϕ, ψ qui s’annulent quand x, y → ±∞.
En effet, tous les opérateurs “physiques” (opérateurs de position, d’impulsion,
moment angulaire, ...) ont cette propriété.
Exercice 12. Vérifiez l’affirmation sur Ĥ en intégrant par parties.
Vu l’Exercice 3, on peut donc s’attendre à ce que les propriétés de Ĥ ressemblent
celles des matrices hermitiennes (valeurs propres réelles, vecteurs propres associés
aux valeurs propres distinctes sont orthogonaux, etc).