cours et exercices - lmpt

Mécanique quantique, séparation des variables et équation de Bessel 8
Pour la démonstration, il suffit d’utiliser l’expression ˆL z = ˆxˆp y − ŷˆp x trouvée dans
l’exercice précédent et les relations de commutation de l’Exercice 14. Par exemple:
[ˆL z , ˆp x ] = (ˆxˆp y − ŷˆp x )ˆp x − ˆp x (ˆxˆp y − ŷˆp x ) =
∣
= ∣puisque [ŷ, ˆp x ] = 0∣ = ˆxˆp y ˆp x − ˆp xˆxˆp y =
∣
= ∣puisque [ˆp x , ˆp y ] = 0∣ = [ˆx, ˆp x ]ˆp y = iˆp y .
Deuxième relation s’obtient par le même raisonnement.
Introduisons à la place des opérateurs ˆp x , ˆp y leurs combinaisons linéaires
ˆp + = ˆp x + iˆp y , ˆp − = ˆp x − iˆp y .
Exercice 22. Montrer que ˆp ± vérifient les relations de commutation
(2.9) [ˆL z , ˆp + ] = ˆp + , [ˆL z , ˆp − ] = −ˆp − .
Les expressions (2.9) se révèlent extrêmement utiles. Supposons par exemple qu’une
fonction ψ est une fonction propre commune de Ĥ et ˆL z , avec les valeurs propres associées
λ = k 2 et ν. Alors la fonction ψ + = ˆp + ψ est aussi une fonction propre commune, avec la
même valeur propre de Ĥ, et la valeur propre de ˆL z égale à ν + 1. Effectivement, comme
[Ĥ, ˆp +] = [Ĥ, ˆp x] + i[Ĥ, ˆp y] = 0, on a
Ĥψ + = Ĥ ˆp +ψ = ˆp + Ĥψ = λˆp + ψ = λψ + .
De façon analogue, en utilisant la première des relations (2.9), on en déduit:
ˆLψ + = ˆLˆp + ψ = (ˆp + ˆL + ˆp+ )ψ = (ν + 1)ˆp + ψ = (ν + 1)ψ + .
D’autre part on a nécéssairement ψ(ρ, ϕ) = h ν (kρ)e iνϕ et ψ + (ρ, ϕ) = ˜h ν+1 (kρ)e i(ν+1)ϕ ,
où h ν est une solution de l’équation de Bessel (2.4) et ˜h ν+1 est une solution de la même
équation avec ν remplacée par ν + 1.
Exercice 23. Montrer que
ˆp ± = ˆp x ± iˆp y = e ±iϕ ( ∂
∂ρ ± i ρ
)
∂
.
∂ϕ
Proposition 24. Soit h ν (r) une solution de l’équation de Bessel (2.4). Alors la fonction
( d
(2.10) g ν+1 (r) =
dr − ν )
h ν (r)
r
vérifie la même équation avec ν remplacée par ν + 1.
Considérons la fonction ψ(ρ, ϕ) = h ν (kρ)e iνϕ . En appliquant ˆp + à cette fonction on
trouve
( ∂
ψ + (ρ, ϕ) = ˆp + ψ(ρ, ϕ) = e iϕ ∂ρ + i )
(
∂
d
h ν (kρ)e iνϕ = e i(ν+1)ϕ
ρ ∂ϕ
dρ − ν )
h ν (kρ),
ρ
d’où le résultat.
Exercice 25. Soit h ν (r) une solution de l’équation de Bessel (2.4). Montrer que la fonction
( d
(2.11) g ν−1 (r) =
dr + ν )
h ν (r)
r
vérifie la même équation avec ν remplacée par ν − 1.
□
□