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Algèbre linéaire — rappels 2
Exercice 3. Définissons sur C n le produit scalaire standard:
n∑
(x, y) = x † y = ¯x j y j ∀x, y ∈ C n .
j=1
(Ici, x, y sont vus comme des colonnes n × 1). Montrer qu’une matrice A ∈ Mat n×n est
hermitienne ssi pour tout x, y ∈ C n on a (x, Ay) = (Ax, y).
Proposition 4. Matrices orthogonales forment un groupe, noté O(n). C’est-à-dire, nous
avons les propriétés suivantes:
(1) si A, B ∈ O(n) alors AB ∈ O(n),
(2) si A ∈ O(n) alors A est inversible et A −1 ∈ O(n).
Démontrons d’abord (1). Pour A, B ∈ O(n) on a
(AB) T (AB) = B T A T AB = B T · 1 · B = B T B = 1.
Pour montrer (2), notons que si A ∈ O(n) alors AA T = A T A = 1 implique
det(AA T ) = det A det A T = (det A) 2 = 1.
Comme det A ≠ 0, la matrice A est inversible. De plus
(
A
−1 ) T
A −1 = (AA T ) −1 = 1,
donc A −1 ∈ O(n).
□
Exercice 5. Montrer que les matrices unitaires forment un groupe (celui-ci est noté U(n)).
Exercice 6. Montrer que l’ensemble de toutes les matrices symétriques n’est pas un groupe.
Proposition 7. Soit A une matrice hermitienne. Alors
(1) toutes les valeurs propres de A sont réelles,
(2) les vecteurs propres correspondant aux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Effectivement si λ est une valeur propre de A et x est le vecteur propre correspondant
(une colonne), alors
x † Ax = λx † x.
D’autre part, nous avons A = A † et par conséquent
x † Ax = x † A † x = (Ax) † x = (λx) † x = ¯λx † x.
Comme x † x = ∑ n
k=1 |x k| 2 ≠ 0, on obtient λ = ¯λ.
De façon analogue, si x, y sont 2 vecteurs propres de A et λ, µ sont les valeurs propres
associées, alors on a
x † Ay = µx † y,
et d’autre part
Ceci implique soit λ = µ, soit x † y = 0.
x † Ay = x † A † y = (Ax) † y = (λx) † y = ¯λx † y = λx † y.
Une matrice A ∈ Mat n×n est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible S et
une matrice diagonale A d telles que SA d S −1 = A. Notons que la diagonale principale de
A d est composée des valeurs propres de A.
( )
1 2
Exercice 8. Démontrer que la matrice n’est pas diagonalisable.
0 1
□