Chapitre 5 Classification des statistiques - ENS de Cachan ...

56 CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DES STATISTIQUESComme le montre le résultat qui suit, le risque quadratique est uniformémentminoré dans la famille des estimateurs réguliers et sans biais, nous donnantainsi une vitesse plancher.Théorème 5.1.1. [CRAMER-RAO] Si ĝ est un estimateur régulier et sansbiais, alors pour tout θ ∈ Θ :R(θ;ĝ) ≥ ∇g(θ) I n (θ) −1 ∇g(θ).Le minorant ∇g(θ) I n (θ) −1 ∇g(θ) s’appelle borne de Cramer-Rao.Exemple. Dans le modèle statistique ({0,1} n ,{B(θ) ⊗n } θ∈]0,1[ ) du jeu de pileou face de la section 1.1, l’estimateur ¯X n construit à partir d’un échantillon(X 1 ,···,X n ) de la loi B(θ) ⊗n vérifie (cf section 2.3) :R(θ; ¯X n )=θ(1 − θ).nPar ailleurs, l’information de Fisher I n de ce modèle a été calculée dans lasection 4.5 :nI n (θ)=θ(1 − θ) .Ainsi, le risque quadratique de l’estimateur ¯X n atteint la borne de Cramer-Rao du modèle. Par ailleurs, on vérifie sans peine que tout estimateur ˆθ duparamètre de ce modèle est régulier. En conséquence,R(θ; ˆθ) ≥R(θ; ¯X n ) ∀θ ∈ Θ,i.e. ¯X n est VUMSB, une propriété déjà obtenue dans la section 2.3.Preuve du théorème 5.1.1. Soit θ ∈ Θ. L’estimateur ĝ étant régulier et sansbiais,∇g(θ)=∇E θ ĝ = ĝ∇L n(.;θ)dµ.H nComme ∇lnL n (.;θ)=∇L n (.;θ)/L n (.;θ) et E θ ∇lnL n (.;θ)=0 par régularitédu modèle, il vient :∇g(θ) = E θ ĝ∇lnL n (.;θ)= E θĝ− g(θ)∇lnLn (.;θ).