Chapitre 5 Classification des statistiques - ENS de Cachan ...

62 CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DES STATISTIQUESDe ce fait, dP θ ◦ S −1 = ψ(.,θ)dµ ◦ S −1 car L n (.,θ) =ψ(S(.),θ) est σ(S)-mesurable, d’où P θ {S ∈ A}∩B = µ(B|S = y)P θ ◦ S −1 (dy).AL’application (y,B) → µ(B|S = y) définie sur R q ×B(H n ) est donc le noyaude transition de la loi conditionnelle de l’échantillon sachant S. Comme il estindépendant de θ, S est une statistique exhaustive.Réciproquement, supposons que S est exhaustive. Pour tout θ ∈ Θ, la loiconditionnelle P θ (.|S = .) de l’échantillon sachant S est indépendante de θ ;notons-là P(.|S = .). Si A ∈ B(R q ) et B ∈ B(H n ), on a d’une partµ {S ∈ A}∩B = ∑ a i P θi {S ∈ A}∩Bi≥1= ∑ a i P θi (B|S = y)µ(dy)=i≥1AAP(B|S = y)µ(dy),car ∑ i≥1 a i = 1. D’autre part, en désignant par µ(.|S = .) la loi conditionnellesachant S :µ {S ∈ A}∩B = µ(B|S = y)µ(dy).Puisque ces relations sont vraies pour tous A ∈ B(R q ) et B ∈ B(H n ), on endéduit par unicité que les lois conditionnelles P(.|S = .) et µ(.|S = .) sontles mêmes, d’où P θ {S ∈ A}∩B = µ(B|S = y)P θ ◦ S −1 (dy).AOn a déjà remarqué que ϕ(.,θ)=E µ [L n (.;θ)|S = .] est la densité de P θ ◦S −1par rapport à µ ◦ S −1 . De ce fait, P θ {S ∈ A}∩B = µ(B|S = y)ϕ(y,θ)µ ◦ S −1 (dy).APar ailleurs, la définition de l’espérance conditionnelle et le théorème de transfertdonnent : P θ {S ∈ A}∩B = 1 B L n (.;θ)dµ{S∈A}= E µ [1 B L n (.;θ)|S = y] µ ◦ S −1 (dy).AA