Chapitre 5 Classification des statistiques - ENS de Cachan ...

58 CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DES STATISTIQUESDans le cas du modèle statistique ({0,1} n ,{B(θ) ⊗n } θ∈]0,1[ ) notamment,l’expression de sa vraisemblance (cf section 4) montre que la moyenne empiriqueest efficace.Exemple. Considérons le modèle statistique régulier (R n ,{N (0,θ) ⊗n } θ>0 ).Si, pour θ > 0, (X 1 ,···,X n ) ∼N(0,θ) ⊗n , l’estimateur des momentsˆθ = 1 nn∑ Xi2i=1de θ est sans biais et régulier. Par ailleurs, la vraisemblance L n du modèlepour la mesure de Lebesgue s’écrit :L n (X 1 ,···,X n ;θ)=Sa log-vraisemblance vérifie doncPar suite,et ˆθ est donc efficace.∇lnL n (X 1 ,···,X n ;θ)=ˆθ = θ + 2θ 21(2πθ) n/2 exp − 12θn2θ 2 1nn∑i=1n ∇lnL n(X 1 ,···,X n ;θ),n∑i=1Xi2 .Xi 2 − θ .Preuve de la proposition 5.1.2. Soient θ ∈ Θ et u = I n (θ) −1 ∇g(θ). La bornede Cramer-Rao s’écrit (cf preuve du théorème 5.1.1) :u,∇g(θ) 2E θ u,∇lnL n (.;θ) 2 .Comme R(θ;ĝ)=E θ (ĝ − g(θ)) 2 ,ĝ est donc efficace si, et seulement si,E θĝ− g(θ) 2 Eθ u,∇lnL n (.;θ) 2 = u,∇g(θ) 2 .Or (cf preuve du théorème 5.1.1),E θĝ− g(θ)u,∇lnLn (.;θ) = u,∇g(θ).