Chapitre 5 Classification des statistiques - ENS de Cachan ...

5.2. EXHAUSTIVITÉ 61Preuve du théorème 5.2.1. D’après le théorème 1.4.1, il existe une probabilitédu convexifié de {P θ } θ∈Θ qui domine le modèle statistique. Pour simplifierla preuve, supposons que la mesure dominante µ est cette mesure, i.e.µ = ∑ a i P θi ,i≥1avec θ i ∈ Θ, a i ∈ [0,1] pour chaque i ≥ 1 et ∑ i≥1 a i = 1. Dans ce cadre, nousallons montrer que S est exhaustive si, et seulement si il existe une fonctionmesurable ψ : R q ×Θ → R + telle que pour tout θ ∈ Θ :L n (.;θ)=ψ S(.),θ µ-p.p.Fixons θ ∈ Θ et supposons que L n (.;θ)=ψ(S(.),θ) µ-p.s. Comme dP θ =ψ(S(.),θ)dµ, par définition de l’espérance conditionnelle pour la probabilitéµ notée E µ : P θ {S ∈ A}∩B =H 1 AS(.) 1B ψ S(.),θ dµn = 1A S(.) 1B ψ S(.),θ |S dµ,H n E µpour tous A ∈ B(R q ) et B ∈ B(H n ). Puis, 1 A (S(.))ψ(S(.),θ) étant σ(S)-mesurable en tant que fonction borélienne de S, on a en notant µ(B|S) =E µ [1 B |S] : P θ {S ∈ A}∩B =H µ(B|S)1 AS(.) ψ S(.),θ dµn= µ(B|S = y)1 A(y)ψ(y,θ) µ ◦ S −1 (dy),R qla dernière égalité provenant du théorème de transfert. Or, la mesure P θ ◦ S −1est absolument continue par rapport à µ ◦ S −1 , de densité E µ [L n (.;θ)|S = .] ∗ .∗. En effet, pour tout A ∈ B(R q ), par définition de l’espérance conditionnelle :P θ ◦ S −1 (A)= L n (.;θ)dµ = E µ [L n (.;θ)|S]dµ.{S∈A}{S∈A}D’après le théorème de transfert, P θ ◦ S −1 (A) = A E µ[L n (.;θ)|S = y] µ ◦ S −1 (dy), d’où lerésultat anoncé.